10 (69)

220

10. Całkowanie form zewnętrznych

10.19.    Przykład. Niech E będzie podzbiorem otwartym Rⁿ,f e #'(£), i niech y będzie krzywą klasy w E, określoną na <0,1). Z (59) i (35)

(61)    Jd/=li(D_f/)(y(t))y;(t)dt.

y    O i=l

Na podstawie reguły różniczkowania funkcji złożonej ostatnie wyrażenie podcałkowe jest równe (/oy)'(f). Zatem

(62)    J# = /(y(i))-/(y(0)),

V

i widzimy stąd, że \df ma taką samą wartość dla wszystkich krzywych y mających ten sam y ■

punkt początkowy oraz końcowy, podobnie jak w przykładzie 10.12a).

Porównanie z przykładem 10.12b) pokazuje więc, że 1-forma xdy nie jest pochodną żadnej 0-formy/ Można to również wywnioskować z części b) następnego twierdzenia, gdyż

d(xdy) = dxAdy # 0.

10.20.    TWIERDZENIE, a) Jeśli (O i X są odpowiednio k-formą i m-formą klasy W na E, to

(63)    d(a a /) = (da) a A+(— ifa a dX. bj Jeśli co jest klasy ^f€" na E, to d²(o = Ona E.

Oczywiście d²co oznacza tu d(dco).

Dowód. Dzięki (57), (60) dowód części a) redukuje się do wykazania, że (63) zachodzi w szczególnym przypadku

(64)    co = fdx„ X = gdxj,

gdzie/, g e ⁽&'.(E),dx_l jest bazową /t-formą, a dxj jest bazową m-formą. (Jeżeli k, mlub obydwie te liczby są równe 0, to opuszczamy po prostu dx, lub dxj w (64); dowód który następuje nie zmienia się w tej sytuacji). Wtedy co a X = fgdx, a dxj.

Załóżmy, że I oraz J nie posiadają wspólnych elementów. (W przeciwnym razie każdy z trzech wyrazów w (63) jest równy 0). Wtedy, stosując (53), otrzymamy

d((o a X) = d(f gdx, a dXj) = (- \yd{fgdx_V Ą).

Z (59) d(fg) = fdg+gdf. Zatem z (60) otrzymamy

d(co a X) = (- lYifdg+gdf) a dx_vn = (gdf+fdg) a dx, A dx_r

Ponieważ dg jest 1-formą, a dxj jest k-formą, więc z (42) mamy dg a dx_t — (— 1 )^kdx, a dg. Zatem

d(co a X) - (df A dxj) a (jgdxj)+(— l)^k(fdx,) a (dg a dx j) = (da) a A+ (- l)^fcco a dX, co dowodzi a).