10 (67)

218

10. Całkowanie form zewnętrznych

a dla dowolnego rosnącego k indeksu / # /jakobian jest równy 0, ho jesft równy wyznacznikowi macierzy zawierającej przynajmniej jeden wiersz samych zer.

10.16. Iloczyny /.-form bazowych. Niech

(51)    1 = 0'i_s—>|| J-[U, ...J,},

gdzie 1 < i_t < ... <i_p < n oraz 1    < ... < j_q < n. Iloczynem odpowiednich form bazowych

dx, oraz dxj w R" jest (p+q)-forma w R" oznaczona symbolem dx, a dx, określona wzorem

(52)    dxi a dxj = ć/.Yjj a ... a dx_if a dx_jl a ... a dxj_t.

Jeżeli / oraz J mają wspólny element, to jak wynika z dyskusji w 10.13 mamy dx, Adxj = 0. Jeśli / i 7 nie mają wspólnego elementu, napiszemy [/, 7] jako oznaczenie rosnącego (p+<j)-indeksu otrzymanego przez uporządkowanie elementów IuJ w rosnącym porządku. Wtedy ćfay j] jest bazową (p+q)-formą. Twierdzimy, że

(53)    dx, a dxj = (-    «

gdzie a jest liczbą ujemnych różnic j,—i_s. (Liczba dodatnich różnic w ynosi więc w tedy pą—a.) Dla dowodu (53) przeprowadzimy następującą operację ną ciągu liczbow ym

(54)    h, •••, ip, ji, , jq.

Posuwajmy liczbę i_p na prawo krok po kroku aż do pozycji kiedy jej lewy sąsiad będzie od niej mniejszy. Liczba takich kroków jest wtedy równa liczbie tych wskaźników t, dla których i_p < j,. (Zauważmy, że zero kroków występuje jako osobna możliwość.) Następnie uczyńmy to samo kolejno z ip_rU ..., i,. Całkowita liczba tak uczynionych kroków jest równa a, a końcowym ustawieniem jest [/, 7], Każdy krok zastosowany w prawej stronie (52), mnoży dx, a dxj przez -1. Wynika stąd (53).

Zauważmy, że prawa strona (53) to postać standardowa formy dx, a dxj.

Niech teraz K = (kj.....k_r) będzie rosnącym r-indeksem o elementach ze zbioru (1, ..l) n}.

Zastosujemy (53) dla wykazania, że

(55)    (dx, a dxj) a dx_K = dx, a (dx, a dx_K).

Jeżeli jakiekolwiek dwa ze zbiorów I, J, K mają wspólny element, to każda ze stron w (55) jest równa 0.

Załóżmy więc, że I, J, K są parami rozłączne. Niech /, J, K oznacza rosnący (p+<j+r)--indeks otrzymany z sumy tych zbiorów. W sposób analogiczny jak w (53) przyporządkowaliśmy parze uporządkowanej (/, J) liczbę a, przyporządkujmy liczbę fi parze (J, K) oraz liczbę f parze (/, K). Lewa strona (55) ma wtedy postać:

(— iydXy j] A dx_K = (— l)^a(^— iy^+ydXy _J Kj.

(Stosowaliśmy tu dwukrotnie (53).) W podobny sposób prawa strona (55) równa się

(— iydxj a dxy _Kj = (— iy(— iy^+ydxy_JK],

co dowodzi (55).