10 (59)

210

10. Całkowanie form zewnętrznych

gdzie każde z odwzorowań B, jest albo identycznością, albo przestawieniem, każde z odwzorowań Gj jest proste oraz klasy W na pewnym otoczeniu 0, G,(0) = 0 i GJ(0) jest odwracalne.

Krótko: (16) podaje lokalne przestawienie F w postaci superpozycji odwzorowań prostych i przestawień.

Dowód. Niech F == F_x i niech 1 < m < n-L Przyjmijmy następujące założenie indukcyjne (które jest oczywiście spełnione dla m = 1):

F_m odwzorowuje V_m otoczenie 0 w R" w przestrzeń R", F„(0) = 0, F'_m(0) jest odwracalne oraz

(17)

P_m__xF_m(x) = p_m-_xx (xe V_m).

Z (17) otrzymujemy

(18)

F«(x) = P_m-_Xx+ £ «i(x)e„

gdzie a_m,..., a„ są rzeczywistymi funkcjami klasy W na V_m. Zatem

(19)

n

F«(0)e_m - EMfc

Ponieważ operacja Fń(0) jest odwracalna, więc lewa strona (19) nie jest równa 0 i wobec tego istnieje takie k,że m ^ k ^ n i (D_ma_k) (Oj ^ 0.

Niech B_m będzie przestawieniem zamieniającym m i tak dobrane k (jeżeli k — m, to przyjmiemy B_m jako identyczność) i określmy

(20)

G_m(x) = x+ [a_k(x)-x_m]e_m (x e V_m).

Wtedy G_m e #'(!',) i jest odwzorowaniem prostym. Poza tym Gi,(0) jest odwracalne, ponieważ (£>_ma*) (0) # 0.

Z twierdzenia o funkcji odwrotnej wynika więc, że istnieje zbiór otwarty U„ taki, że 0 e U_m cz V„„ G„, jest 1:1 odwzorowaniem U_m na otoczenie V_m+_x punktu 0, oraz G^¹ jest na V„+i różniczkowalne w sposób ciągły. Określmy F_m+1 za pomocą wzoru

(21)

F_m+1(y) = B_mF_mG-¹(y) (yeF_{m + 1}).

Wtedy F_{m +},    (0) = 0 i Fń + _x(0) jest odwzorowaniem odwracalnym (na

mocy reguły różniczkowania funkcji złożonej). Także, dla x e U_m mamy

(23)

P_mF_{m + 1}(y) = P_my (y e V_m+1).

A więc nasze założenie indukcyjne zachodzi przy m+1, (W (22) stosowaliśmy najpierw (21), potem (18) i definicję B_m, potem definicję P_m, wreszcie (20).)

Ponieważ B„B_m = I, więc (21) przy y = G_m(x) jest równoważne z

(24)

F_m(x) = B_mF_mi.j(G_m(x)) (x 6 UJ.