10 (65)

216

10. Całkowanie form zewnętrznych

Jako specjalny przypadek powyższej sytuacji otrzymujemy relacje antykomutowania

(42)    dxi a dxj — — dxj a dXj, zachodzące dla dowolnych i oraz j. W szczególności

(43)    :& , '    '    ~ JXiK dx_i =* 0 (i = 1,2,...,»).

Ogólniej, wracając do (40), załóżmy, że i,. = i, dla pewnych r'¥ s. Zamieniając te wskaźniki, otrzymujemy ćb m co, a więc z (41)' g) = 0.

Mówiąc inaczej, jeżeli to jest dana wzorem (40), to <o = 0, o ile jakieś dwa z indeksów ii,..., i_k są równe. W postaci (34) formy (o możemy więc opuścić składniki, gdzie indeksy się powtarzają. Wynika stąd w szczególności, że jedyną k-formą na dowolnym podzbiorze R^m przy k > n jest forma zerowa.

Antyprzemienność wyrażona przez (42) jest powodem, dla którego tak dużo uwagi przy studiowaniu form różniczkowych będziemy poświęcali kwestiom znaków (+)1 (—) występującym w tekście.

10.14. k-FORMY BAZOWE. Niech i,,..., 4 będą liczbami naturalnymi; 1 ^ ij < i₂ <

< 4 $ n. Jeżeli I jest uporządkowanym ciągiem i_u... ,4, to / nazywamy rosnącym k-indeksem i będziemy stosowali skróconą notację

(44)    I dxj «i

Formy dx_h gdzie I jest rosnącym k-indeksem nazywamy k-formami bazowymi.

Nietrudno sprawdzić, że istnieje n!/k!(n—k)! bazowych k-form w R", nie będziemy z tego jednak w dalszym tekście korzystali.

Znacznie ważniejszym spostrzeżeniem jest to, że każdą k-formę można uzyskać jako kombinację liniową form bazowych. Aby zobaczyć to, zauważmy, że każdy ciąg k parami różnych liczb naturalnych można przeprowadzić w rosnący k-indeks, dokonując skończonej liczby przestawień par jego elementów; każda z tych operacji w odniesieniu do form oznacza mnożenie przez -1, zgodnie z punktem 10.13: zatem

(45)    ^M) dxj_t a dx_Jt m tOt, mtUdkjt

gdzie liczba e{j\, .... j_k) jest równia l lub -1 zależnie od liczby potrzebnych przestawień. Jest łatwo sprawdzić, że

(46)    ę(%    * S(/W J*)»

gdzie sjest jak w definicji 9.33.

Dla przykładu

dxi Adx_sAdx₂ A<fx₃ —dxi Adx₂ Adx$ Adx_s

oraz

dx_A A\ dx₂ a dx₃ — dx₂ a dx₃ a dx₄.

Jeżeli każdy ze składników w (34) zastąpimy składnikiem, gdzie wskaźniki tworzą rosnący k-indeks, to otrzymamy tak zwaną postać standardową formy co: