10 (61)

212

10. Całkowanie fonii zewnętrznych

Zamiana zmiennych

Możemy już obecnie opisać efekt zamiany zmiennych w całkach wielokrotnych. Dla prostoty ograniczymy tutaj nasze zainteresowania do przypadku funkcji ciągłych o zwartym nośniku, mimo że zawęża to znacznie zakres zastosowań. Sprawa ta jest zilustrowana przez zadania 9 — i 3.

10.9. TWIERDZENIE. Niech Tbędzie wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem klasy f otwartego zbioru E c R^k w R^k, takim, że J_r(x) ^ 0 dla x e E. Jeżelifjest funkcją ciągłą o nośniku zwartym zawartym w T(E), to

(31)    iAy)dy= / f(T(x))\J _r(x)| dx.

R*    /t*

Przypominamy, że J_T oznacza jakobian przekształcenia T. Założenie, że J_T(\) ź 0 powoduje poprzez twierdzenie o funkcji odwrotnej, że T jest funkcją ciągłą na T(E), i dzięki temu z twierdzenia 4.14 wynika, że funkcja pod całką po prawej stronie(31) ma nośnik zwarty zawarty w E.

Pojawienie się wartości bezwzględnej |7_r(x)| we wzorze (31) wymaga komentarza. Niech więc k = 1 i przypuśćmy, że T jest 1:1 ^'-odwzorowaniem R^l w/?¹. Wtedy J_T(x) = T(x), i jeśli T jest funkcją rosnącą, mamy na mocy twierdzeń 6.19 i 6.17 dla ciągłych/o zwartym nośniku

(32)    jf(y)dy= i f(T(x))T'(x)dx.

R‘    R‘

Natomiast w przypadku, kiedy Tjest funkcją malejącą, T(x) < 0 i dla funkcji/, która jest dodatnia we wnętrzu swego nośnika, lewa strona (32) miałaby wartość dodatnią, a prawa ujemną. Widać stąd, że właściwą postać (32) otrzymamy, T zastępując | Tj.

Istotną sprawą jest, że przechodzimy obecnie do całkowania funkcji określonych na podzbiorach R", które nie posiadają naturalnie określonej orientacji czy uporządkowania. Inny punkt widzenia wystąpi z chwalą, kiedy przejdziemy do całkowania form różniczkowych na powierzchniach.

Dowód. Z tylko co uczynionych uwag wynika, że (31) zachodzi,jeżeli Tjest odwzorowaniem prostym klasy W (zobacz definicję 10.5), natomiast z twierdzenia 10.2 wynika, że (31) zachodzi w sytuacji, kiedy T jest odwzorowaniem liniowym polegającym na zamianie współrzędnych.

Zauważmy teraz, że jeżeli twierdzenie jest prawdziwe dla przekształceń P i Q oraz S(x) =

= P(G(x)), to

f/(z)dz = ff(P(y)) \J_P(y)\dy = J/(p(Q(x)» |J_ł,(G(x))l Uę(x)|dx = J/(S(x)) [J&ffiht,

bo z reguły różniczkowania funkcji złożonych oraz z twierdzenia o wyznaczniku iloczynu dwu macierzy wynika, że

J_p{Q(x))J_q(x) = detP'(Q(_x))det<2'(x) = detP'(g(x))G'(x) = detS'(x) = J_s(x).

Zatem twierdzenie zachodzi też dla S.