10 (63)

214

10. Całkowanie form zewnęttznych

w dalszym ciągu milcząco zakładaćife jest ono spelnione)‘mie powoduje istotńego zmniejszę-] nia ogólności teorii form różniczkowych.

Porównanie z definicją 6.26 pokazuje, że 1-powierzchnie nie są niczym innym, jak krzywymi, różniczkowalnymi w sposób ciągły.

10.11.    DEFINICJA. Załóżmy, że E jest podzbiorem otwartym przestrzeni R“. Formą różniczkową rzędu k ^1 na E (krótko, kjormą na fi) nazywamy funkcję a^symbolic^fia zapisąpą w postaci sumy

(34)    •    a>’= Y₄a_{l J}^(x)dx_i a .:.K^ldXi

(wskaźniki i _t,..., 4 przebiegają w sposób niezależny zbiór 1,..., ą), która każdej fc-powierzchni 4> w £ przyporządkowuje liczbę == j ta, zgodnie z regułą

gdzie D jest zbiorem parametrów powierzchni «J>.

Zakładamy przy tym, że funkcje a_UmJt są rzeczywiste i ciągłe na E. Jeśli <p_u ..., <p_n są składowymi tf>, to jakobian we wzorze (35) jest jakobianem odwzorowania

(u₁₍..., i<_k)-*(y>,_i(u), ..., <p,_a(u)>? ¹ s‘

Zauważmy, że prawa strona wzoru (35) jest całką na D taką, jaka została określoną w definicji lO.iiub w przykładzie 10.4 i że (35) jest definicją symbolu ja).

fjj 5P S >|

Mówimy, że k-forma co jest klasy /Sft łub ST'* jeśli funkcje    występujące we wzorze (34L

są klasy S?' lub ST.

0-formy na E definiujemy jako funkcje ciągłe na E.

10.12.    Przykłady, a) Niech y będzie 1-powierzchnią (tj. krzywą klasy ¥') w R³ z parametrem przebiegającym odcinek <0,1 >. Będziemy pisali (x, y, z) zamiast (xi) %) i niech w = xdy+ydx. Wtedy

jo = j£yi(t)y'2(t)+y^t)y't(t)Jdt = fi(iMW-yi(0)y₂(0).

S; h o

Zwróćmy uwagę na to, że w tym przykładzie jco zależy jedynie od punktu początkowego

y

y(0) i punktu końcowego y(l) krzywej y. W szczególności jco = 0 dla dowolnej krzywej

r

zamkniętej y Gak zobaczymy własność taka przysługuje dowolnej 1-formie zamkniętej).

Całki z 1 -form są często nazywane całkami krzywoliniowymi.

. ib). Ustalmy u > 0, b > 0 i określmy

(acosf, bsint) (0    2ń).

y jest wtedy krzywą zamkniętą w R², a jej zbiorem wartości jest elipsa. Wtedy

2«

jxdy = j abcos²t di m, nab, v    o