10 (75)

226

10. Całkowanie form zewnętrznych

gdzie B jest odwzorowaniem liniowym przestrzeni R^k w przestrzeń Rⁿ, określonym równośą ciami Bej — p₀— pj, Be,- = p,—p;, jeśli i pp Oznaczając y4e_f == x, (1 ^ i ^ k% gdzie A jest dane równościami (78), widzimy, że kolumny macierzy [B] (tj. wektory Be,) mają postać

Jeśli od każdej kolumny odejmiemy y-tą kolumnę, to żaden z wyznaczników występują^ cych we wzorze (35) nie ulegnie zmianie i otrzymamy; naftępujące kolumny: x_x,    j,.- x*

*k- Różnią się one od odpowiednich kolumn macierzy [j4] tylko znakiem y-tej kolumny. Zatem w tym przypadku (81) zostało dowiedzione.

Załóżmy, teraz, że 0 <■ i < j < k i powiedzmy, że a powstało z a przez przestawienie wierzchołków p, i p_f. Wtedy^!ff(u) = p₀+Cu, gdzie [C] ma te same kolumny co-[d], z wyjątkiem kolumn i-tej i y-tej, które zostały przestawione. Wynika stąd znów, że (81) zachodzi, ponieważ s =* —1.

j Zatem równość (81) jest spełniona w ogólnym przypadku, ponieważ każde przestawienie elementów zbioru {0, 1,..., k} jest superpozycją przestawień, z którymi mieliśmy już do czynienia,

10.28. ŁAŃCUCHY AFINICZNE. Afinicznyni k-łańcuchem F w zbiorze otwartym E. c Rⁿ nazywamy rodzinę, składającą się ze skończonej ilości żorientowanych k-sympleksów ^M ..., u, w E (niekoniecznie różnych).

Jeśli Fjćst takim łańcuchem i jeśli oijest k-formą'w £; to definiujemy

(82)    J    I SB

Możemy rozpatrywać fc-po wierzchnię 0 w E jako funkcję, określoną na zbiorze wszys tkiclf’ k-form a> w E, przyporządkowującą każdej formie m liczbę f«o. Funkcje rzeczywiste można

<p

dodawać (patrz definicja 4.3) i dlatego (82) sugeruje następujące oznaczenie.

(83) !    r — lub w bardziej zwarty sposób

(84)    />

Równość ta oznacza, że (82) zachodzi dla dowolnej k-formy w £.

, , Dla uniknięcia nieporozumień musimy tu podkreślić, że oznaczenia wprowadzone w (83) i (80) muszą być traktowane ostrożnie. Delikatnym punktem jest tu fakt, że każdy zorientowany afmiczny k-sympleks o w R" jest funkcją na dwojaki sposób, posiadając dwie różne dziedziny i obrazy.

Zatem możliwe są dwie zupełnie różne operacje dodawania. Początkowo, określiliśmy o jako funkcję na Q^k o wartościach w R". Zgodnie z tą definicją suma o,+<t₂ mogłaby być interpretowana jako funkcja na Q^k przyporządkowująca każdemu óf wektor u_x(«)4-i