0284

285

§ 5. Przybliżone rozwiązywanie równań

Z ciągłości funkcji / W i warunku 2) wynika, że między a i b zawarty jest pierwiastek i równania (1) (patrz ustęp 80). Ponieważ pochodna f'(x) zachowuje znak (3)), funkcja f(x) w przedziale <a, 6> rośnie lub maleje, a więc równa jest zeru tylko jeden raz, pierwiastek £ jest więc izolowany.

Warunek 3) oznacza geometrycznie, że krzywa y=f{x) nie tylko przebiega w jednym kierunku — - stale w górę albo stale w dół, w zależności od znaku f'(x) [132] — ale także że jest wypukła w ścisłym sensie do góry lub na dół, w zależności od znaku /"(x) [143]. Na rys. 82 przedstawione są cztery możliwości odpowiadające różnym kombinacjom znaków f(x) i / "(x).

W algebrze dowodzi się, że przy obliczaniu pierwiastków rzeczywistych równań algebraicznych zawsze można uzyskać taką sytuację, że spełnione są warunki 1), 2), 3), tak że warunki te nie ograniczają zasadniczo stosowalności wyłożonych niżej metod. Nie można tego powiedzieć o równaniach przestępnych (niealgebraicznych). Jednak w praktyce ograniczenia te nie są zbyt krępujące, gdyż w znacznej większości przypadków te dodatkowe warunki są spełnione.

154. Reguła części proporcjonalnych (metoda siecznej). Jeśli przedział <a, by jest dostatecznie mały, to można uważać z pewnym przybliżeniem, że przy zmianie x w obrębie tego przedziału przyrost funkcji /(x) jest proporcjonalny do przyrostu argumentu. Oznaczając pierwiastek funkcji przez ( będziemy w szczególności mieli

/({)-/(«) _,Ć-«

f(b)-f(a)~ b-a'

skąd biorąc pod uwagę, że /(() = 0, otrzymujemy

(b-a)f{a)

*f(b)—f(a)

W ten sposób jako wartość przybliżoną pierwiastka przyjmujemy tu liczbę

(2)

(b-a)f(a)

Xt — a---

f(b)-Aa)

Wyrażenie to można oczywiście przedstawić także w postaci

(2*)

(b-a)f(b)

x₁ = b---- •

m-S(a)

Wyłożona reguła obliczenia wartości przybliżonej pierwiastka nazywa się regułą części proporcjonalnych(')■ Reguła ta ma prostą interpretację geometryczną. Zastąpmy tuk MM' krzywej (rys. 82) sieczną MM'. Rówanie tej siecznej można napisać w postaci

(3)

y-/(«)=

Ab)-/(a) b — a

(x-a).

Reguła nasza sprowadza się w istocie do tego, że zamiast punktu A przecięcia krzywej z osią x wyznaczamy punkt D przecięcia siecznej z osią x. Rzeczywiście, podstawiając do wzoru (3) y—0 otrzymujemy dla odciętej x_t punktu D właśnie wyrażenie (2).

W związku z tym reguła części proporcjonalnych nazywa się również metodą siecznej.

Zajmiemy się zbadaniem położenia punktu x_{ względem pierwiastka £. Jest rzeczą bezpośrednio jasną, że punkt X, leży między a i b, ale z której strony ( ?

(') Metodę tę nazywano dawniej regułą jalsi. jest ona bowiem oparta na przypuszczeniu, które ściśle mówiąc nie odpowiada rzeczywistości.