Untitled 36

142

3. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów

Kryterium Routha. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby wielomian (3.41) miał zera o ujemnej części rzeczywistej, jest, by wszystkie elementy pierwszej kolumny tablicy (3.42) były różne od zera i miały ten sam znak.

Przykład 2. Zbadać, czy zera wielomianu /(z) = z⁴ + 5z³ + 10z² + lOz + 4 mają ujemne części rzeczywiste.

Tworzymy tablicę (3.42)

1    10    4

5    10

8    4

7,5

4

Ponieważ wszystkie elementy pierwszej kolumny są dodatnie, więc wszystkie zera wielomianu /(z) mają ujemne części rzeczywiste.

Kryterium Hurwitza. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby wielomian f(z) stopnia n, a_n > 0, miał zera o ujemnych częściach rzeczywistych, jest, by wszystkie wyznaczniki:

II	— 1 >	ii CN	— 1 ^an-3
	— 1	a„	0
D,=	— 3	^an-2	@n — 1
	tfn-5	^an-4	— 3

an-\	an	0	.. 0
— 3	— 2	ćln _ J	.. 0
^1 — n	^a2-n	^ai-n	.. a0

(3.43)

gdzie aj = 0 dla j < 0, były dodatnie.

Przykład 3. Stosując kryterium Hurwitza zbadać lokalizację zer wielomianu rozważanego w poprzednim przykładzie.

Mamy n = 4, a₀ = 1, a, = 5, a₂ = 10, a₃ — 10 i a₄ = 4. Zatem D, = a₃ = 10

d2 =	a\	at ai	=	10 5	4 10	= 80
	a2	a«	0		10	4	0
	a,	a2	as	=	5	10	10
	0	a<>	a\		0	1	5

3.2. Metody poszukiwania zer wielomianów

		0	0		10	4	0	0
a\	02	02	a4		5	10	10	4
0	Oq	a\	02	=	0	1	5	10
0	0	0	Oo		0	0	0	1

143

Ponieważ wszystkie wyznaczniki są dodatnie, potwierdza się wynik osiągnięty w poprzednim przykładzie.

Jak wiadomo, badanie liczby zer wielomianu o ujemnej części rzeczywistej można sprowadzić do badania liczby jego zerw kole jednostkowym. Niech

(3.44)

f(^z) — Z °^kz" * = a₀zⁿ +a,z" ¹ + ... + a_n

k = 0

/*(z) = zⁿf I - = Z a_kz^k = a₀ + a,z + ... + a_nz"

7/ 1

k = 0

kreska pozioma oznacza tu sprzężenie. Utwórzmy ciąg wielomianów

Mz),Mz),f₂(z), ...,/„(z) przy czym /o (z) =/(z)

/i(z) = 5./,(r) - aj* {z)

Mz) = aZj(z)-a⁽"f*(z) i ogólnie

fj + i (z) =    ,/_y(z) - «?/;(z), j = o, 1, ..., n - 1

(3.45)

m-Zfl* ^{1 k}> ; = o,

n-j

* = o

Wprowadźmy oznaczenia °/+i -    - |a₀ |

(3.46)

= 5,<5₂... <5*

Tw. 6. Jeśli dla wielomianu stopnia n wśród liczb Pj, P₂,..., P„, określonych wzorami (3.46) jest s liczb ujemnych oraz n — s liczb dodatnich, to liczba zer tego wielomianu leżących wewnątrz kola jednostkowego jest równa s.

Uwaga. Jeżeli wszystkie liczby <5,, S₂,.<5„ są różne od zera, to wielomian/(z) nie ma zer na okręgu |z| = 1. Wniosek odwrotny jest nieprawdziwy.

Przykład 15. Zbadać lokalizację zer wielomianu /(z) = 4z³ + z. Mamy /o (2) =/(z) = 4z³ + z /o(z) = Oz³ + lz² + 0-z + 4 = z² + 4 /i(z) = 0 /₀(z) - 4/J(z) = — 4z² - 16