Untitled 35

140

3. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów

3.2.4. Lokalizacja zer zespolonych

Podamy teraz kilka twierdzeń pozwalających oszacować moduł zespolonych zer wielomianu.

Tw. 1. (Cauchy’ego). Niech

f(z) = a₀zⁿ + a,z"^-1 + ... + a_n, a₀ j= 0

oraz

F(z) = \a₀\z"- £ \a_k\zⁿ-^k    (3.37)

* = i

Jeżeli a oznacza jedyne dodatnie zero rzeczywiste wielomianu F(z), zaś z_u z₂, ..., z„ są zerami wielomianu f(z), to

\z_k\ < a dla k=l,2,...,n

Uwaga. Współczynniki a_k mogą być zespolone.

n

Tw. 2. Niech f(z) = X a_kzⁿ~^k, a₀ — 1, i niech fi będzie dowolną liczbą

k = o

dodatnią. Wszystkie zera wielomianu spełniają nierówność

Uk\ < 7 k= 1, 2, ..., n    (3.38)

gdzie

y = max (l/fi, X \a_k\fi^k~'^j

Przykład 1. Znaleźć oszacowanie modułów zer wielomianu /(z) = z* + Sz² — 5z + 1

Szukane oszacowanie y = max (\/fi, 3/? + 5/?² + fi¹). Trzeba tak dobrać fi, aby y było możliwie małe. Przyjmijmy fi = 1/2. Mamy

3-+5-- + -= 2,875 oraz \/f! = 2. Moduły zer badanego wielomianu f(ź) są mniejsze niż 2,9.

n

Tw. 3. Niech f(z) = X ^akZⁿ~^k, ^ao / 0. Wszystkie zera wielomianu f(z)

k = 0

spełniają nierówność

k= 1,2,

(3.39)

\z_k\ < 1 + max — ^a0

Uwaga. Współczynniki a_k mogą być zespolone.

Następne dwa twierdzenia dotyczą wielomianów o dodatnich rzeczywistych współczynnikach.

3.2. Metody poszukiwania zer wielomianów

141

spełniają

n

Tw. 4. Moduły wszystkich zer wielomianu f(z) = £ a_kzⁿ~^k nierówność    * = o

(<h 02

I    >    9 ••• 9

\«o <*1

< |z_t| max

«2

9

«1

(3.40;

Tw. 5. /eże/; współczynniki wielomianu f(z) = JT a_kz"~^k spełniają wa

k = 0

runek a₀ > a, > a₂ > ... > a„ > O, to moduły wszystkich zer wielomianu f(z są mniejsze niż 1. Jeżeli a_n > a„_, > ... > a, > a₀ > O, to moduły wszystkici zer wielomianu /(z) są większe niż 1.

Często ważnym zagadnieniem jest dla nas lokalizacja zer wielomianu n; płaszczyźnie zespolonej. Na przykład, badanie stabilności liniowych układó\ automatyki, równań różniczkowych zwyczajnych czy różniczkowo-całko wych wymaga rozstrzygnięcia, czy wszystkie zera danego wielomianu maj ujemną część rzeczywistą. Podamy teraz trzy kryteria: Michajłowa (grafic2 ne), Routha i Hurwitza, określające warunki, przy których wielomia o współczynnikach rzeczywistych ma zera położone na lewo od osi urojone

Kryterium Michajłowa. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, ab zera wielomianu f(z) miały ujemną część rzeczywistą, jest, by wektor o początk w punkcie (0, 0) i końcu w punkcie f(jt) zatoczył kąt nn/2, gdy t zmienia się c 0 do +oo, przy czym krzywa zataczana przez koniec wektora nie moi przechodzić przez początek układu.

W celu sformułowania kryterium Routha rozważmy wielomian

f(z) = a₀zⁿ + b₀z"-' + a_xzⁿ~² + ó|Z"^-3 + ...    (3.4

o współczynnikach rzeczywistych. Obliczamy wartości

^Ck — Ok + l ~	^a0 u TT bk+i, bo	k = 0, 1, .	.., r - 1,	bo ^ 0
dk = bk + \ —	bo — ^c*+i> Co	o II	.., r- 1,	c0 # 0
«k = c* + i -	^c° A ~r dk+i, do	*- II o	.., r - 2,	do ^ 0

<

i ustawiamy je w postaci tablicy

^09 ^19 029 •••9 0r

bo, b\, b₂, ..., b_r

Co, Ci, c₂, ..., C_r_i

do, d\, d₂, «- -, d_r _ i

^09 ^19 ^29 •••9 &r — 2

(3.“