Untitled 33

136

3. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów

Niech M(x₀) oznacza liczbę zmian znaku w ciągu (f^(k)(x)), k = 0, 1,..., n, dla * = x₀.

Tw. (Fouriera). Jeżeli f(x) jest wielomianem stopnia n określonym w przedziale (a ; b) i f(a) f(b)    0, to liczba zer wielomianu f (x) w tym przedziale

jest równa

M (a) - M(b)

lub jest od tej liczby mniejsza o liczbę parzystą.

Przykład 2. Niech f{x) = X³ — 2x? — 5* + 5. Tworzymy ciąg pochodnych

/(x) = X³ - 2^ - 5x + 5 /'(*) = 3JC² — 4jc — 5 f"(x) = 6x - 4 f'"(x) = 6

Na podstawie tablicy 3/7 stwierdzamy, że wielomian ma jeden lub trzy pierwiastki (A/(— oo) — M(+ oo) = 3). Z warunku M{— co) — M(0) = 1 wynika, że istnieje pierwiastek ujemny, z warunku M(0) — Af (1) = 1 wynika, że istnieje także pierwiastek w przedziale (0; 1), azAf(l) — M(ś) = 1, że trzeci pierwiastek należy do przedziału (1; 3).

3/7

	— CO	+ 00	0	1	3
f	-	+	+	-	+
f	+	+	-	-	+
r	-	+	-	+	+
r	+	+	+	+	+
M(x)	3	0	2	1	0

Znana jest także inna metoda określania liczby zer rzeczywistych wielomianu. Dla wielomianu

/W = a₀x" + a,*"^-1 + ... + a_n__lx + a_n, a₀^ 0    (3.26)

tworzymy ciąg wielomianów fo(x) = a₀

f(^x) = OqX + a\    (3.27)

/tW = a₀x* + a,x + a₂

/.W =/(*)

Niech L(x₀) oznacza liczbę zmian znaku powyższego ciągu (f_k (x)), k = = 0, 1, ..., n, w punkcie x = x₀.

Tw. (Laguerre’a). Jeżeli /(x) jest wielomianem stopnia n określonym na przedziale (a ; b) if{a)f(b) 0, to liczba zer wielomianu f(x) w tym przedziale jest równa

3.2. Metody poszukiwania zer wielomianów

137

L(a) — L(b)

lub jest od tej liczby mniejsza o liczbę parzystą.

Przypadkiem szczególnym tej metody jest tzw. reguła Kartezjusza, mówiąca, że liczba dodatnich zer wielomianu (3.27) (z uwzględnieniem ich krotności) jest równa liczbie zmian znaków w ciągu współczynników a₀, a_u ... ..., a_n lub jest od tej liczby mniejsza o liczbę parzystą.

Chcąc znaleźć liczbę ujemnych zer wielomianu (3.26) konstruujemy wielomian f ( — x) i badamy liczbę jego dodatnich zer.

Przykład 3. Na podstawie reguły Kartezjusza dla wielomianu /(x) = X³ — 3x² — 5x + 5 stwierdzamy, że jest jeden pierwiastek ujemny, natomiast liczba pierwiastków dodatnich, jest dwa albo zero.

Pełniejsze omówienie poruszanych tutaj metod wraz z dowodami twierdzeń można znaleźć w pracy [62],

Ćwiczenia

1.    Podać twierdzenia określające liczbę pierwiastków rzeczywistych wielomianu.

2.    Sformułować określenie /c-krotnego pierwiastka funkcji f(x).

3.    Zbudować łańcuch Sturma dla wielomianu f(x) = x³ — 2x² — 5x + 5.

4.    Określić liczbę oraz lokalizację zer rzeczywistych wielomianu z ćwicz. 3.

5.    Zastosować twierdzenie Fouriera do wielomianu z ćwicz. 3.

6.    Korzystając ze wzorów (3.28) i (3.29) wyznaczyć przedział zawierający wszystkie dodatnie zera wielomianu /(x) = x⁷ + 5x⁶ + 20x⁵ — 12x⁴ — 5x³ — 2x² + 3x + 4.

Odpowiedzi. 3. /₀(x) = x³ - 2x² — 5x + 5, /,(x) = 3x² — 4x — 5, /₂(x) = 38x/9 — 35/9, /₃(x) = 8865/1444. 4. Trzy pierwiastki położone odpowiednio w przedziałach: (—2; — 1), (0; 1), (3; 4). 6. (1/2; 3).

3.2.2. Lokalizacja zer rzeczywistych

W wielu przypadkach bardzo istotna jest dla nas znajomość przedziału, w którym mieszczą się wszystkie rzeczywiste zera wielomianu (3.26). Problem można ograniczyć do wyznaczenia jedynie kresu górnego R dodatnich zer tego wielomianu, jeżeli bowiem wprowadzimy trzy pomocnicze równania

/.(*) = JC-/^ = 0

/₂ to =/(-*) = 0    (3.28)

f₃ (x) = xⁿf

v)-

dla których kresy górne zer dodatnich są odpowiednio równe R_u R₂, R), tc wszystkie dodatnie zera wielomianu (3.26) będą leżały w przedziale (1 /R\ , R) a ujemne w przedziale ( — R₂; — l/R_}).