Untitled 37

3. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów 144

/*(z) = — 16z² + O z — 4 = — 16z² — 4

Mz) = - 16/i(z) + 4/!(z) = 64z² + 256 - 64z² - 16 = 240

<5i = |a3⁰⁾|² — |(z^<o^>l² = O — 16 = —16

<5₂ = la^<i'⁾|² - |ao’|² = 256 - 16 = 240

S,= |a|²’|² — |a®|² = 240²

Na podstawie drugiego ze wzorów (3.46) stwierdzamy, że P, < 0, P₂ < 0, Pi < 0. Wszystkie P_k są ujemne, a więc wszystkie zera wielomianu leżą wewnątrz kola jednostkowego (jest tak istotnie, bowiem zerami są: 0,j/2, — j/2).

Ćwiczenia

1.    Oszacować moduł wszystkich zer wielomianu /(z) = z⁴ + z³ + z — 2.

2.    Korzystając z kryterium Routha zbadać, czy wszystkie zera wielomianu /(z) = = z⁴ + 7z³ + 18z² + 20z + 8 mają ujemną część rzeczywistą.

3.    Zbadać istnienie zer zespolonych wielomianu/(z) = 4z⁴ — 2z³ + 2z² — z wewnątrz koła jednostkowego |z| = 1.

3.2.5. Metody przybliżonego obliczania zer zespolonych wielomianu

Aby znaleźć zespolony pierwiastek równania (3.23), można oczywiście użyć wzorów (3.35) lub (3.36), z tym że działania należy wówczas wykonywać na liczbach zespolonych. Wiadomo [50], że zarówno metoda Newtona, jak i metoda siecznych są zbieżne dla pojedynczych pierwiastków zespolonych, jeżeli tylko początkowe przybliżenie jest wystarczająco dobre. Rozpatrzmy metodę Newtona dla z_k zespolonego. Mamy

z i -    +jyi

b_k = y_k +jó_k    (3.47)

c_k = e„ + ją _k

a więc wzory (3.32) i (3.34) przyjmują teraz postać 7o ⁼ °o>    <5q ⁼ 0

II	2, ■	.., n
k= 1,	2, •	.., n
II	2, •	.., n
k = 1,	2, .	.., n

(3.48)

y_k = a_k + x,y_k_t -yid_k__u

<5* = *A-i + ytfk-u £0 = 70 = 00, no = o

£* = 7* + *<£*-! -yiVk-1,

fln-2 = 0

n_k = b_k +    +

Ri = b_n = y„ +jó„

R 'i — ^cn - 1 = £* - 1 + j n„ - I

3.2. Metody poszukiwania zer wielomianów

145

a wzór (3.36) ma postać

x_i+1 = x,~

y_n^£n-l + &n*]n- 1 ^£l-\ + tl²n_ j

(3.49)

tt+l

= y. -

5_ne„_ 1 -

P² — «² £/i- 1 Hn- 1

Zamiast metody iteracyjnego dzielenia stosowanej w przypadku pierwiastków rzeczywistych, do znajdowania przybliżonych wartości pierwiastków zespolonych wielomianu można stosować metodę obliczania kolejnych poprawek dla współczynników trójmianu kwadratowego — metodę Bairstowa (wiąże się ona z zasadniczym twierdzeniem algebry o rozkładzie wielomianu rzeczywistego na czynniki rzeczywiste). Podamy najpierw wzory związane z dzieleniem wielomianu/(z) przez czynnik kwadratowy z¹ + p, z + q,. Mamy

/(z) = (z² + PiZ + qj)(óozⁿ~² + b_xzⁿ~³ -|- ... + b„_₂) + R/Z + S, (3.50) gdzie

bo — ^ao,    b _ i = 0

t>k ^{= a}k~ Pibk-\ — <]ibk-2, k — 1,2, ..., n Bi — a_n_\ — Pib_n_ 2 ^— 9.ó„_ 3 = b_n_i Si = a„ — q_tb_n_₂ = b_n + p,ó„_i

Dzieląc następnie (3.50) ponownie przez ten czynnik kwadratowy, otrzymujemy

/(z) = (z² +PiZ + qi)²(coZⁿ~⁴ + c,z"-³+ ... -(- c„_₄) +

+ (R'jZ + S'j)(z² + pj z + qj) + RjZ + 5,-    (3.51)

<

gdzie

Cq = bo, c_ | = 0

Ck = b_k ~PiC_k- \ - qic_k-₂, k = 1, 2, ..., n-2

B i b_n _ 3 P_t C _n _ 4 q i C_n _ 5 = C_n _ 3 S'i = b_n_2 ~ qiC„-4 = C„_2 + A^cn- 3

Kolejne przybliżenia wyznacza się ze wzorów (patrz [44], [71])

- 1 c_n _ 2 —    _ 3 C„ _ 3

(3.52)

Pk+l — Pk--^-

b„~\r — c„_₂b„

Qk+l = q,--e-

10 Metody numeryczne