Untitled 29

3. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich ukiadów 128

gdyż przy przyjętych założeniach f"(c) > 0 i f'(b)> 0. Stąd x_t > a, a ponieważ z (3.14)

3. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich ukiadów 128

a:, — b =

m

f(b)

<0

więc < b.

Z twierdzenia Lagrange’a mamy

przy czym c, e (a, a:,). Ponieważ/(a) = 0 i f'(c,) > 0, więc f(x,)> 0, a stąd wynika, że styczna poprowadzona w punkcie Z?i(jc,, /(a:,)) będzie miała identyczne własności co styczna poprowadzona w punkcie B₀. Z równania drugiej stycznej

y-f(xi)=f(xi)(x - xi) otrzymamy

^x,~^x,~rM    ^<316)

Ogólnie, równanie stycznej w punkcie B„(x_n, f (a:„)), n = 0,1,2,..., ma postać y-f(x_n)=f'(x_n)(x-x_n)    (3.17) co pozwala na podanie wzoru rekurencyjnego opisującego kolejne wyrazy ciągu przybliżeń

(3.18)

f(X_n)

/'(*■)

Tak jak w poprzednich metodach, ciąg przybliżeń jest ciągiem malejącym (a;„ ₊ i < at„) ograniczonym z dołu (a < a:„), a więc zbieżnym. Przechodząc do granicy w równości (3.18) dla n-*-oo mamy

g = g~

f(g)

fig) czyli fig) = 0, a więc g = a.

(3.8)

1“ - x_n\ sC

Błąd n-tego przybliżenia można oszacować korzystając z nierówności

w

Ponieważ zgodnie ze wzorem Taylora

/(*«) =/0»-i + iXji - x„-i)] = f(x_n_ ,) +/'(x„_i)(ac„ - *„_,) +

+ ^/"(^-i)(x_n-x_B_₁)²

3.1. Jedno równanie z jedną niewiadomą

129

przy czym , leży w przedziale o końcach x„ i x„_,, więc ze wzoru (3.18) wynika, że

/(*„_,) +/'(*«-i)(*n= o

czyli

l/(*„)l ^ ^M(x„ - x„_i)²

gdzie M = sup |/"(x)|. Stąd mamy

xe<a; by

(3.19)

I- , \<-—(_X -_X * ^M ( V ¹ "^k2m⁽ "    2mV/'(JC_B)j

Podobnie jak w przypadku metody reguła falsi, dla x_n+, dostatecznie bliskich a mamy

l« - *„ ₊ ,|

/(*■)

/'(*«)

co pozwala na przerywanie procedury iteracyjnej dla l*» + i - x„\ < e gdzie e jest zadane z góry albo jest oszacowaniem błędu obarczającego f(x„)/f'(x_n).

Przykład 1. Stosując metodę Newtona obliczyć dodatni pierwiastek równania z przykładu 1 w p. 3.2.1.

Jako punkt początkowy wybieramy punkt x₀ = 2. Kolejnymi przybliżeniami są wówczas

= x₀ -

/(2)    3

/'(2)    13

1,76923

x₂ =

/(* i) /'(*t)

1,76923

0,36048

9,92897

1,73292

1,73205

Gdybyśmy jako punkt początkowy wybrali x₀ = 1 proces iteracyjny też byłby zbieżny, ale znacznie wolniej (tabl. 3/4). Jak widać, dopiero od czwartego wyrazu ciąg przybliżeń zaczyna być szybko zbieżny.

3/4

i	x,	/(*i)
0	1.0	-4.0	2.0
1	3.0	24.0	30.0
2	2.2	5.888	15.92
3	1.83015	0.98899	10.7086
4	1.7578	0.05457	9.5354
5	1.73195

9 Metody numeryczne