0283

284

IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych

§ 5. Przybliżone rozwiązywanie równań

153. Uwagi wstępne. Zajmiemy się teraz zagadnieniem znajdowania pierwiastków danej funkcji f(x), tj. pierwiastków równania

(1)    /(*)= o.

Będziemy zresztą rozwiązywać to zagadnienie przy założeniu, że interesujący nas pierwiastek £ jest izolowany, tzn. został znaleziony przedział <«, 6), który zawiera ten pierwiastek

a<i<b

i w którym nie ma innych pierwiastków.

Jeśli ponadto na końcach przedziału funkcja /(x) ma wartości f{a) i /(£>) o różnych znakach, to jak wyjaśniliśmy już w ustępie 81 w związku z zastosowaniem pierwszego twierdzenia Bolzano--Cauchy’ego, dzieląc kolejno przedział zawierający pierwiastek na części i wyznaczając znak funkcji

f(x) w punktach podziału, można ten przedział dowolnie zwężać i tym samym dokonać przybliżonego obliczenia pierwiastka. Jednakże chwyt ten, chociaż w zasadzie swej prosty, w praktyce okazuje się często nieprzydatny, wymaga bowiem zbyt wielu rachunków. W niniejszym paragrafie czytelnik zapozna się z najprostszymi sposobami przybliżonego obliczania izolowanego pierwiastka równania (1), które są bardziej systematyczne i szybciej prowadzą do celu. Będziemy znowu mieli przy tym sposobność korzystać z podstawowych pojęć i metod rachunku różniczkowego.

Będziemy zakładali zawsze, że spełnione są następujące warunki:

1)    funkcja f(x) jest ciągła w przedziale (a, b") wraz ze swymi pochodnymi f'(x) i f''(x);

2)    wartości f(a) i f (b) funkcji mają na końcach przedziału różne znaki: f (a) f (b) 0;

3)    każda z pochodnych f (x) i f"(x) zachowuje taki sam znak w całym przedziale (a, b).