0235

236

IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych

Uwaga. Znaczenie twierdzenia 1 przewija się w badaniach teoretycznych i w ogóle w tych wypadkach, kiedy funkcja jest określona w taki sposób, że z samego jej określenia nie wynika bezpośrednio, że zachowuje ona stałą wartość. W przyszłości będziemy się spotykali z podobnymi wypadkami.

132. Warunek monotoniczności funkcji. Wyjaśnimy obecnie, jak na podstawie zachowania się pochodnej można wnioskować o wzrastaniu (maleniu) samej funkcji w danym przedziale. Rozpatrzmy najpierw przypadek, gdy funkcja jest monotonicznie rosnąca w szerszym sensie, tzn. niemalejąca (albo monotonicznie malejąca w szerszym sensie, tzn. nierosnąca) [57].

Twierdzenie 2. Niech funkcja f(x) będzie określona i ciągła w przedziale SC, a wewnątrz przedziału ma pochodną skończoną f'{x). Na io, aby funkcja f (x) była w SC monotonicznie rosnąca (malejąca) w szerszym sensie, potrzeba i wystarcza, by był spełniony warunek

f'(x)^0(<0) wewnątrz SCC).

Konieczność. Jeśli /(x) rośnie monotonicznie, chociażby w szerszym sensie, to biorąc x wewnątrz przedziału SC i nadając mu przyrost Ax>0 otrzymujemy

/(x-Mx)>/(x),

/(x + Jx)-/(x)^_Q Ax '

przechodząc do granicy przy Ax~>0 otrzymujemy j"(x)^0.

Dostateczność. Teraz na odwrót, niech będzie/'(¹)>0 wewnątrz SC. Weźmy dwie wartości x' i x" (x'<x") z przedziału SC i zastosujmy do funkcji f(x) w przedziale <x', x") wzór Lagrange’a, wtedy otrzymujemy

/(¹•") -f(xj =/'(c) (x" - x')    (x' < c < x").

Ponieważ f'(c)^ 0, przeto

/(x")>/(x')

i funkcja /(x) jest rosnąca przynajmniej w szerszym sensie.

Dotąd nie wyłączaliśmy możliwości, że funkcja f (x) jest stała w pewnych przedziałach, a jej pochodna równa tożsamościowo zeru. Jeśli natomiast wyłączymy tę możliwość, to otrzymamy przypadek wzrastania albo malenia w ścisłym sensie.

Twierdzenie 3. Na to, aby funkcja f (x) przy tych samych założeniach co do jej ciągłości i co do istnienia jej pochodnej f'(x) była monotonicznie rosnąca (malejąca) w ścisłym sensie, potrzeba i wystarcza, by

1)    /'(x)> 0 (<0) dla x wewnątrz SC.

2)    f'(x) nie równała się tożsamościowo zeru w żadnym przedziale będącym częścią przedziału SC.

1

Chociaż formułujemy twierdzenia równolegle dla funkcji rosnących i dla malejących, jednak dowód przeprowadzimy tylko dla funkcji rosnącej.