5167288133

wyciąć 50 kwadratów jednostkowych?

6.    Rozstrzygnij, czy istnieje 2008 różnych trójek parami względnie pierwszych liczb naturalnych a, 6, c takich, że a², b² i c² tworzą ciąg arytmetyczny.

7.    Joszua rzuca monetą n razy, zaś Ahmed n + 1 razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że Ahmed wyrzuci więcej orłów niż Joszua.

8.    Udowodnij, że dla każdego x £ (0,1) i każdych liczb naturalnych m, n zachodzi nierówność

(1 - xⁿ)^m + (1 - (1 - x)^m)ⁿ > 1.

Zawody drużynowe:

1. Znaleźć wszystkie funkcje / : M —* R spełniające dla dowolnych x, y £ R tożsamość

/(* - f(y)) = /(*) + ^xf{y) + f{f{y))-

2.    Rozstrzygnąć czy istnieje zbiór liczb naturalnych S mocy 2008 taki, że suma elementów dowolnego podzbioru S jest potęgą liczby naturalnej o wykładniku większym od 1.

3.    Dana jest rodzina T podzbiorów k elementowych zbioru n elementowego S, przy czym n > 2k. Każdy k+1 elementowy podzbiór S zawiera dokładnie m > 1 zbiorów z rodziny T. Wykazać, że T zawiera wszystkie k elementowe podzbiory S.

4.    Dany jest okrąg co i rozłączne, styczne do niego wewnętrznie, okręgi Ul, 0J2 o środkach Oi, O2. Niech A i B będą punktami styczności wspólnej stycznej zewnętrznej aą, UJ2 odpowiednio z coi i o»2- Wspólne styczne wewnętrzne uj 1, cu2 przecinają co w punktach C, Z), przy czym punkty A, B, C i D leżą po tej samej stronie prostej O1O2. Udowodnić, że proste AB i CD są równoległe.

12