5167288132

30.    Rozstrzygnąć czy istnieją parami względnie pierwsze liczby naturalne a, b, c > 1, dla których zachodzą warunki: a\2^b + 1, b\2^c + 1, c|2° + l.

31.    Sfery opisana oraz wpisana w czworościan ABCD mają wspólny środek, AB = CD oraz wszystkie ściany tego czworościanu są trójkątami ostrokątnymi. Udowodnić, że środki krawędzi czworościanu ABCD leżą na jednej sferze wtedy i tylko wtedy, gdy jest on foremny.

32.    Udowodnić, że istnieje dokładnie jeden podział zbioru liczb naturalnych na rozłączne zbiory A i B spełniający warunek: dla dowolnej liczby naturalnej n liczba sposobów zapisania n w postaci a* + aj, gdzie a*, aj G A i a,i ^ % jest równa liczbie sposobów zapisania n w postaci bi + bj, gdzie 6*, bj G B i bi ^ bj.

Dzień Dziecka:

1.    W załączniku do zadań masz aktualną kopię punktacji poszczególnych uczestników obozu. Dla ciągu rzeczywistych liczb a\,a2,.. .a% zmodyfikowanym wynikiem zawodnika nazywamy liczbę Y%=i cuPi, gdzie Pi to liczba punktów, które ten zawodnik zdobył z i-tego zadania. Twoim zadaniem jest tak dobrać wagi <2j, abyś był liderem rankingu zmodyfikowanych wyników ex aeąuo z jak najmniejszą liczbą innych zawodników.

2.    Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych a, b takie, że a³ = 66² + 2.

3.    Niech ABC będzie trójkątem równobocznym o polu 1, zaś P dowolnym punktem w jego wnętrzu. Przez D,E, F oznaczamy rzuty prostokątne P odpowiednio na BC, CA i AB. Znajdź najmniejszą możliwą sumę pól trójkątów BDP, CEP i FAP.

4.    Mając daną kartkę papieru ^45 skonstruować (bez użycia cyrkla tudzież linijki) trójkąt równoboczny. Można założyć, że boki kartki A5 dzielą się w stosunku 1 : y/2.

Uwaga: Do opisu konstrukcji należy dołączyć skonstruowany trójkąt

5.    Czy z kwadratowej kartki papieru o wymiarach 7,99 x 7,99 potrafisz

11