24602

Twierdzenie 4 Jeśli «|6c i liczby a. b są względnie pierwsze to a|c.

Dowód Ponieważ NWD(a,6) = 1 to zgodnie z powyższym Twierdzeniem istnieją liczby u,v takie, że ua + vb = 1. Mnożąc to równanie obiLstronnic przez c mamy noc + vbc = c. Ponieważ a\bc to istnieje k, że bc — ha, a więc uac -f vka = c. Stąd (uc + vk)a = c, więc a|c.D

Będziemy mówić, że liczba całkowita p jest pierwsza jeśli p -fi 0, ±1 i jedynymi dzielnikami liczby p są ±1. ±p.

Twierdzenie 5 Liczba p jest pierwsza wtedy i tylko wtedy gdy p spełnia warunek: jeśli p\bc to p\b lub p\c.

Dowód

(=>)Załóżmy, że p jest liczbą pierwszą i p\bc. Największy wspólny dzielnik liczb p i 6 jest równy 1 lub p. Jeśli NWD(p, 6) = p to p\b. W przeciwnym przypadku mamy NWD(p,6) = 1 i z poprzedniego Twierdzenia p\c.

(^=) Przypuśćmy, że p = kl wtedy p\kl, a więc p\k lub p\l. Jeśli p\k to istnieje t, że k = pt, a więc p = ptl czyli tl = 1, a ta równość w zbiorze liczb całkowitych jest możliwa tylko dla / = ±1. To oznacza, że p nie ma dzielników poza ±1. ±p. a więc jest liczbą pierwszą.□

Twierdzenie to można rozszerzyć w następujący sposób:

Wniosek 2 Jeśli p|fli^rt2 • • • a_n to p dzieli przynajmniej jedno n,.

Twierdzenie 6 Każda liczba całkowita n oprócz liczb 0. ±1 jest iloczynem liczb pierwszych.

Dowód Twierdzenie wystarczy udowodnić w przypadku gdy n > 1. Przypuśćmy, że istnieją liczby naturalne > 1, które nie są iloczynami liczb pierwszych. Oznaczmy przez 5 zbiór takich liczb. Wtedy istnieje najmniejsza liczba w zbiorze S (na podstawie ADP). Nazwijmy ją s. Ta liczba nie jest pierwsza, a w ięc istnieją liczby a, 6, takie że s = ab i 1 < a < s, 1 < b < s. Stąd wynika, że a, 6 ^ S. Zatem liczby o, 6 dadzą się zapisać jako iloczyny liczb pierwszych, a więc s również co jest sprzeczne z założeniem że tego się nie da zrobić. Czyli S jest zbiorem pustym.D

Twierdzenie 7 (Zasadnicze Twierdzenie Arytmetyki) Każda liczba całkowita, różna od 0, ±1 jest iloczynem liczb pierwszych. Rozkład na liczby pierwsze jest jednoznaczny w następującym sensie: Jeśli

n =P\1>2 - Pr i n = ęif/2 • •</*

2