ANALIZA 1 SEMESTR1

fjj* TlMilT iid*sicaa..aic granice jednostronne, czy istnieją granice:

», ilinoc * *pi x

i

b) lim 2 ^X ;

x—»0

c) lim

x-*2

x² - 4

e) lim

f) lim x arc tg —.

x—o    z

i.j *.mystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić równości:

*    \Jx cos — = 0;

_:    Z²

2~^x + sin z

c_; lim -— = X;

---oo 2^_!C + COSZ

.... L3CJ+2_3.

h) lim .    1.1 ■“ n i

’ r-ioo |2e^xJ + l 2’

3    1

a) lim z arc tg — = 0;

x—0    X

_N 2+sin x

^f) _^1,m zś = °;

x—*oa    X"

i) lim z³ I -

x—o Lz.

= 0;

d) lim I zj sin(z7r) = 0;

x—*2

.    z + sin² z

g) lim e    =0;

X—*— OO

j) lim jsin    -sinzj = 0.

6.4 Korzystając z twierdzenia o dwóch funkcjach uzasadnić równości:

c) lim f‘3 — cos ctgz = — c

x—*0" \    xj

! z² + lj

a) lim    -—|-= co;

x—>oo    [jEJ

2 + sin —

b) lim-x—=— -- oo;

x—*o    z²

6.5 Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć granice:

. sm^2 3z a) hm-5—; x—+0	. X sm- b) lim J ; ^x~^>0 sm — O	^tg- c) lim —S-; tg - X
arcsin2z d) lim---; x-.o arc tg z	e) lim z^2 arc tg i; x—+oo X	cos3z —cos7z f) hm-^-; x~+0 X^2
. cos 5z g) hm ; x->4 cos3z	e^3x - 1 h) lim : „■ x—+o sm lx	x—+0 X
i)^h(,3:^2,,;	2^X — 1 k) lim —7=-; ’ x—.0+ 4^-1	X 1) lim (1 + 2x) ^x ; x—+0
i \^2x~^l m) lim (1 • 0 1 X —* OC \ It2 j	ni) lim [1 -ł-tg(2z)j^c:®~; x—»0	, ^TT7- - z o) Lim- x—+0 X

6.6 Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne funkcji:

a) /(z) = d) /(z) =

g) f(x) =

+ x\ x^2 — 4	b) /(z) =
z — 3
\Zx^2 — 9
sinx X — 7T ’	h) /(z) =3

(z + l)^2:

y/l + Z²

0/W = i^,

f) /W =    e

i) f(^x) —x — arc tg z.

Lista 7    _

7.1 Narysować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki:

a)    lim /(z) = oo, lim /(z) = 1, /(2) = 0, lim /(z) = -1;

X—» — OC    X—+0“    x—»oo

b)    lim /(z) = e, lim /(z) = 0, funkcja / jest parzysta;

x—»cc    x—*2

c)    prosta y = z + 1 jest asymptotą ukośną funkcji / w —oo, prosta y — x — 1 asymptotą ukośną w oo, a prosta z = 0 jest jej asymptotą pionową obustronną;

d)    lim /(z) = 0, lim /(z) = 3, lim /(z) = -oo;

X—» — CC    X —■* 1    X—+30

e)    lim /(z) = oo, lim /(z) = —oo, lim /(z) = 1, lim /(z) = 5;

x—* — cc    x—x—+0+    x—+co

f)    lim /(z) = -4, lim /(z) = oo, lim /(z) = 4;

x—• — oc    i 1    X—+OC

e' ;-.rr. / r = oc. lim /('z' = 0, funkcja / jest okresowa i ma okres T = 3;