skanuj0003

Egzamin z analizy (I semestr), termin 1 29.01.2009

Zadanie 1.    (a) Przypuśćmy, że dla pewnego ciągu o wyrazach x_n £ K

istnieją granice (skończone):

9o = lim x_2k, 9\ = lim x_2k+1-

k—* oc    A:— oo

Wykazać, że wówczas granica górna tego ciągu, lim sup x_n jest równa max(g\, (70). (b) Zbadać, czy nierówność:

limsup(a_ri + b_n) < lim sup a._n f lim sup 6_U

n—>co    rt—* oc    n—‘■co

jest ostra w przypadku, gdy

a_n := 1 + cos(7T7i), b_n : =

i

1 + exp((-l)ⁿn)

Zadanie 2. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i wypukłości (nic chodzi tu o ścisłą wypukłość) dla funkcji h określonej wzorem

h(x) = ,rexp(jx - 1| - x).

Zadanie 3. Zbadać ( w drugim przypadku -w zależności od wartości parametru x > 0) zbieżność szeregów liczbowych:

00    .    - -!    ^(v^T3_i)n

/    ( V n⁴ - \/n - Jn⁴ + >/n ] sin - ,    >-----.

, \^{v    v}    / n    n In n

n=l    '    n—3

Zadanie 4. Znaleźć granicę

lim cos(27tx^-) in * .

Zadanie 5. <. Znaleźć całki niewłaściwe:

\j\KSjCUjJJ, CaaO-^

[x 4- 1) dx

J (2x + 1) ln(;

oraz

• /

2c^J

(1 + e^2x)(l - e^x)

dx

Czas pisania = 120' minut.

(W pewnych wzorach używani oznaczenia exp(f) dla wartości e'^-).