QScan012220110453

Egzamin trwa 120minut.

MATEMATYKA

Egzamin pierwszy termin 27.01.2010

Zadanie 1. Funkcja / :(9t-{o})-»9ljest określona wzorem

/(*) =

x¹ +1

x

a)    Zbadać monotoniczność i wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f .

b)    Określić tempo zmian funkcji f w poszczególnych przedziałach jej dziedziny.

c)    Uzasadnić dla badanej funkcji , że    ~ {o} ) = (— o°, — 2^>U(^2, + oo) oraz, że

f nie jest różnowartościowa.

Zadanie 2. Macierz \a b\ jest macierzą rozszerzoną układu równań
	5xj + x3 -	3x4	= k^2
	2x, - x7 + xy -	2x4	= — 1 gdzie k e
	3xj + x7 —	JC ą	- 2 k
a) Wyznaczyć postać bazową macierzy		U id

b)    Określić dla jakiej wartości parametru k E 91 podany układ ma rozwiązania.

c)    Podać rozwiązanie ogólne układu , w przypadku, gdy ono istnieje

Zadanie 3. Dane są macierze

' 0	0	1 "
				~ 2	2	0
-1	1	-4	B =	-2	0	3,
1	2	0		-3	-5	2
0	1	-1

A =

a)    Wyznaczyć macierze A A oraz B

b)    Obliczyć wyznacznik det M, gdzie macierz M = det((J -B)B~²]a^t A.

Zadanie 4. Dana jest funkcja

/(*> J^;) = ye~^{X +y}, gdzie (x, y) e R ¹ .

a)    Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu funkcji f(x, y)

b)    Wyznaczyć ekstrema lokalne j funkcji f (x, y)

±<a <i 20

c) Wyznaczyć    ^ n

/7—>00

oraz

n —> oo

/    \2»+l

' n

n+3

1

ⁿ + 4”

a) Sprawdzić, czy ciąg (a_n ) jest monotoniczny.

b) Uzasadnić, że wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają warunek

2

(-1)”^_1

Zadanie 5. Niech a_n =--- dla n=l, 2, 3,..