DSC07089 (5)

108

Pochodne funkcji

Ponadto mamy /“*(10) = 1. Przyjmując we wzorze przybliżonym z przykładu a) po = 10 i Ap = —0.0038 oraz korzystając ze wzoru na pochodną funkcji odwrotnej otrzymamy przybliżone rozwiązanie równania

x⁷ + 4x⁵ -f 3x³ +2r = 0.0082.

Mamy zatem

/'(l) “    * ¹ + (7x« + 20** -ł- 0x* -ł- 2)|_łDl

Uwaga. Dokładny pierwiastek tego równania jest równy 0.000899. c) Rozważmy równanie

2* — cos* = p,

(-0.0038) = 0.0009.

gdzie p jest parametrem. Ponieważ funkcja /(*) = 2* - cos* jest rosnąca na R oraz R jest zbiorem jej wartości, więc dla każdego p € R powyższe równanie ma jednoznaczne rozwiązanie

Ponadto mamy /~^ł(x) = —. Przyjmując we wzorze przybliżonym z przykładu a) po = ^K &P = 3.14 — jr = - 0.0015926... oraz korzystając ze wzoru na pochodną funkcji odwrotnej, otrzymamy przybliżone rozwiązanie równania

2* - cos* = 3.14

Mamy zatem

* s=s r 00 +

1    ■ _z _Ap

/(I) ^{P J} [2 + »nx

3.1415926...    0.0015926...

2 _3< -Uwaga. Dokładna wartość pierwiastka to 1.5702654 ... . d) Rozważmy równanie

U

1.5702655.

aresm x

= P.

gdzie p jest parametrem. Funkcja /(*)

arccosz

aresin*

jest rosnąca na przedziale (—1,1),

gdyż jest ilorazem funkcji rosnącej aresin* i funkcji malejącej arccosz o nieujemnych wamrfdacfa. Łatwo sprawdzić, ie /(—1) = -- oraz lim /(*) = oo. Zatem dla każdego

p ^ —— rozważane równanie ma jednoznaczne rozwiązanie * = f~^l(p). Zauważmy, że

/”*(I) = Przyjmując we wzorze przybliżonym po = 1 i óp = 0.999— 1 = —0.001 oraz korzystając ze wzoru na pochodną funkcji odwrotnej, otrzymamy przybliżone rozwiązanie

0.009.

arccosz

Mamy zatem

X * /-*(») +

?(«rcco>z)³

/

W)

2 I nresin x + arc cos*

• (-0.001) =

Przykłady

109

2

W?

10000

= 0.7068291010... .

Uwago. Dokładna wartość pierwiastka to 0.7008289075... .

Pochodne wyższych rzędów

• Przykład 4.16

Obliczyć /', /", f" podanych funkcji: a) /(x) = x In x; b) /(x) = (*² + * +1) _Cosx; c) /(x) = c^e#,x; d) /(x) = y/^Tl.

Rozwiązanie

Pochodna właściwą drugiego rzędu funkcji / w punkcie xq definujemy wzorem

r<*o) u

Podobnie pochodną właściwą trzeciego rzędu funkcji / w punkcie xq definujemy wzorem

r<«) s irjw

Analogicznie określamy pochodne wyższych rzędów.

a)    Dla z > 0 mamy /'(x) = In.z + z • i = lnx+1 oraz

/"w=[/']'(*)=(in*+o'-=|; rmBil = (l)'—w-

b)    Mamy

/'(z) = (2x + l)cosx + (*^a + x +1) (-sini) = (2* + l)cos* + (-z¹-x-l)ńnx;

rw I i/tw

= [(2* + 1)cosx + (x^a + x + l) (—sinx)J

= 2cosi + (2* + 1)(—sin i) + (-2x - l)dm + (-*’ - x -1) «**

= (—4x — 2)sini+ (-z?-x+l) cos z

oraz

rw = irrw

= [(—4x — 2)sinx+ (—x^a—x + l)co8x]^#

= —4sinz + (—4z-2)cosx + (-2*- l)ccśx + (-z*- * + 0 ("«*>*) = (jr? + * - 5) sin x - (6z+ 3) cos z.

c) Mamy Dalej

sinz.

A*) = [/i' <*) = — Ie~“* *ta*r