DSC07092 (5)

114

Pochodne funkcji

114

c) DU x#0 mamy »'(x) = [/(!)]'=/ (i) (__oroz

d) DU x > 0 many ,'(*) = |/(|_ni)|- ₌    ^

»"(*) = ifeff = ~/'(lnx) + if(l„x)i = 1 (-/(lnx) + /'(In?))!

»'"(*) = [^(-/(ln*) + /'(l„x))]'

=    (^-/(lnx) + /'(lnx)) + J- (-Abx)i+/">*)i)

= J/(tax) - |f/'(lnx) + §/"(!..*).

• Przykład 4.19

Znaleźć wzory ogólne na pochodną n-tego rzędu podanych funkcji: a) /(x) = »n4i; b) $(x) = e ³; _c)h(z) = ^-j; d) *(x) = Sfx.

Rozwiązanie

a) Mamy fe) = 4coe4:r; /"(ar) = -4^asln4*; /'”(*) = -4³cos4x; /^w(x) = 4‘^,*ln4x. Z postaci pierwszych czterech pochodnych funkcji / można wysnuć hipotezę:

gdzie k € Z.

4” ain4x dla n = 4k, j_ny. .    4ⁿcos4z dla n = 4k + l,

* W⁼' —1ⁿsin4x dla n = 4Jb + 2, —4^B ccs4x dla n = 4k + 3,

Uzasadnienie lej hipotezy należy przeprowadzić metodą indukcji mątcnintycztioj. Nieskomplikowany dowód pomijamy,

b) Mamy

Przykłady

115

Z postaci kilku początkowych pochodnych funkcji h można wysnuć hipotezę Dowód indukcyjny tej hipotezy pomijamy.

c) Przed przystąpieniem do obliczeń kolejnych pochodnych wygodnie będzie rozłożyć funkcję wymierną h na ułamki proste. Mamy

Zatem

1)>*

_tamę y —2• 3    2*3 IBM 2-3-4 , -2-3>4

^h (l,_ (x-l)« ⁺ (* + l)*'    ■ ^W-(x-l)»⁺ (x+l)»-

Z postaci początkowych czterech pochodnych można wysunąć hipotezę o postaci n-lej pochodnej:

_=n. ( i-*r_₊_hiTL) ₌.ni(-i);[(x4-ir_-(x^in

W ⁿ-V(x-l)-^{+l +} (x + i)-«7

Indukcyjny dowód tej hipotezy pozostawiamy Czytelnikowi, d) Dla x fi 0 mamy

*'(*) = i*“\

' ggiJ^Ej rJH

Z postaci tych kilku początkowych pochodnych funkcji można wysunąć hipotezę Dowód indukcyjny tej hipotezy pomijamy.

•i Przykład 4.20

a) Punkt materialny porusza się wzdłuż osi Ox pod wpływem zmiennej siły. Położenie x(t) tego punktu w chwili t jest opisane wzorem

Znaleźć położenie tego punktu w chwili, w której siła działająca na niego równa się 0;

b) Prędkość ruchu prostoliniowego ciała jest wprost proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z przebytej drogi. Pokazać, ie to ciało porusza się pod wpływem stałą) ally.