Ebook2

154 Rozdział 5. Rachunek całkowy

c) Obliczamy pochodną funkcji /(x) = x¹ 4- 4x 4- 3, mamy f'{x) = 2x 4- 4 Zatem

154 Rozdział 5. Rachunek całkowy

Niech

/

x — 3

-ł/

\/x² 4- 4x 4- 3 2x 4- 4

dx

-/

\/x² 4- 4x 4- 3 2x 4- 4

-⁵/

<£c,    /₂ =

dx

ł(2:r + 4)-5

\/x² 4 4x 4- 3 dx

dx =

Vx² 4- 4x 4- 3 dx

\/x² 4- 4x 4- 3    ’    * J Vx² 4- 4x 4- 3

Na podstawie wzoru (5.4) marny /i = 2\/x² 4- 4x 4- 3 -f C.

Aby obliczyć całkę /2, zapisujemy trójmian kwadratowy w postaci kano nicznej i mamy

f ^dx	f dx	x 4- 2 = t
J \/x^2 4- 4x 4- 3 J	sj(x + 2)^2 - 1	dx = dt

dt

s/t² - 1

= ln 11 -f \/t² — 1| + C,

h

-i

na podstawie wzoru (5.13).

Zatem

Ii — ln \x 4- 2 4- \Jx² 4- 4x 4* 3| + C.

Ostatecznie

x — 3

/

\/x² 4- 4x 4- 3

dx = \/x² 4- 4x 4- 3 — 5 ln |x 4- 2 4- \Jx² 4- 4x 4- 3| 4- C.

[ ^x 3^    4 dx = (Ax + B)\/—x²— 2x + 4& + k [    -- ^

J x/-x² - 2x + 48    J V-x² -

d) Na podstawie wzoru (5.14) przewidujemy postać rozwiązania x² + 3x — 4    ,    , ,    ^—-—■—— . f    dx

■x² — 2x 4- 48    '    7 \/—a:² — 2x 4- 48

Różniczkujemy obustronnie powyższą równość i otrzymujemy

x² 4- 3x - 4    /—^— -—    (-2x - 2)

= A\/-x² - 2x 4- 48 4- (Ax 4- B)—======= 4-

\J—x² — 2x 4 48    2\/—x² — 2x 4- 48

k

4—/-    • -------■ •

\/—x² — 2x 4- 48

5.4. Całkowanie funkcji niewymiernych

I!),')

Mnożąc obydwie strony równania przez \J—x² — 2x 4- 48, uzyskujemy

x² + 3:r — 4 = —2Ax² + (—3A — B)x + 48.4 — B + k.

Porównując współczynniki przy kolejnych potęgach x, otrzymujemy układ równań

(    —2A =    1

<    -3 A-B =    3

{ 48A - B + k = -4,

którego rozwiązaniem jest A = — B = — | i/c =

Zatem

x² + 3x — 4 yj-x² - 2x + 48

/

^ yj—x² — 2x + 48 + ^37 f    dx

2 J \/~x² - 2x -f 48

Obliczamy

/

dx

-i

\J—x² — 2x + 48 7 dt

I

dx

/

>/-(x + l)² + 49 dt

\/49 - 49£² J y/l-t²

x + 1 = 7ż dx = 7 dt t =    ^

x -ł-1

= aresin t + C — aresin

+ c.

Zatem

/

(x² + 3x — 4)dx \/—x² — 2x + 48

- 37

- 2x + 48 + — aresin

i + 1

7

+ C.

Uwaga 5.4. Metodą współczynników nieoznaczonych można także obliczyć całki typu / \/n:r² + bz + cdx, gdzie a ^ 0. Wtedy przekształcamy funkcję podcałkową w następujący sposób:

*

ax² + bx + cdx =

-/

aa:² + bx + c \Jax² -f bx c

dx

1

stosujemy wzór (5.14).