Ebook8

l(i() Rozdział 5. Rachunek całkowy

Całkę /i obliczymy, stosując podstawienie tg | = 7. Mamy

l(i() Rozdział 5. Rachunek całkowy

Si

dx sin x

tgf = 7

dx = ^ux    T+t?

^sinx = T+P

f dt , . .

=y T=^ln'^t|

+ C = ln

X

^tg2

+ C.

Całkę I2 obliczymy, stosując metodę całkowania przez części. Otrzymujemy

/

cos² xdx

sin'⁵ x

f(x) = cosx    g'{x) =

f\^x) — — sinx 9(1) = -^

X_

sin'' 1

COS

2 sin

x    1 /' d.r

² x    2 7 sin x ’

Zatem

/dx f dx cos x 1 r dx 1 sin³x J sinx 2 sin² a: 2y sinx 2

ln

x

^tg2

cosx 2 sin² x

+ C.

PRZYKŁAD 20. Obliczyć całki: a)

' J (sin i+cosi)^ ’

l>) f    7    2 dx,

' J 1— osin x cos x+7cos^i! x ’

c )Sy.f „ ■

v sin 1 cos⁰ x

ROZWIĄZANIE.

a) Ponieważ (sinx 4- cosx)² = 1 4- 2 sin x cos x, więc zastosujemy podsta wienie tg x = t. Mamy

[ ^dx	f dx	tg x = 7
1 (sin x-i-cos x)^2 J	1 4- 2 sin x cos x	II H "t3

dt

r t -h* ₌ f f J ¹ +    7 t² + 2t + 1 J

1

+ C = -

t² 4- 2t 4-1

+ c.

t 4-1    tgx 4- 1

b) Zastosujemy podstawienie tgx = t. Mamy

f    3tgx — 5

1 — 6 sin x cos x + 7 cos² x

J    • 1 1 ^2    *y

dx

tgx = t dx =    —

^ux    \+t

37 — 5

t² - 6t 4- 8

^dt = I

37 — 5

(t-4)(7-2)

dt.

r

5.6. Całkowanie wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne

167

Po rozkładzie funkcji podcałkowej na ułamki proste i zastosowaniu wzoru (5.5) otrzymujemy

3£ — 5

-dt

(f-4)(t-2)

Zatem

3tgx — 5

h

c)

=1(1

4 t - 2

² dt = - ln \t - 4| - - ln\t - 2| + C.

-2~dx = l ln|tgx - 4| - - ln|tgx - 2| + C. — 6 sin x cos x 4- 7 cos'* x 2    2

f ^dx - j	f dx	tgx =	i
/ \/sin^3 x cos^5 x J	{/sin^2 x(cos^2 x)^2 sin x cos x	dx =	dt 1+t^7

dt

TTt?

-I

t² i t T+t¹ (i+t²)² T+7⁷

J -^= = J t *dt = 4*4 +C = 4 \/tgx + C.