Ebook8

146 Rozdział 5. Rachunek całkowy

gdzie B\, B2,..., B_n, C\, C2, ■ •., C_n to pewne stałe, które należy wyznaczyć,

c) znajdujemy wszystkie nieznane stałe przez rozwiązanie odpowiedniego układu równań.

Jeżeli G_m(x) rozkłada się tylko na czynniki stopnia 1, to zamiast rozwiązywania układu równań można zastosować inną metodę znajdywania stałycli Ai, A2,..., A_n (Przykład 10).

Uwaga 5.3. Do obliczania niektórych rodzajów całek funkcji wymiernych

zamiast opisanego wyżej schematu można stosować inne metody.

PRZYKŁAD 8. Obliczyć całki:

\ r x^bdx ^a/ J 3x¹² + 12>

TF-

ROZWIĄZANIE.

a) Przy obliczaniu tej całki zastosujemy podstawienie x⁶ = t. Mamy

/

x⁵dx

3x¹² + 12

■4/

-ki

.6 _

6x⁵dx =

dt

x⁵dx — gdt

t — 2z t² + 4 dt = 2 dz dz 1

_?TT = -arctgz ₊ C =

dt

-U

=-1 18 J 4z² + 4

31² + 12

2dz

+ c.

1    1^1 /I

⁼ 36^arCtg2^{t + C=}36^arCtg 2^X

b) Ponieważ (a:⁴ — 1)' = 4x³, więc na podstawie wzoru (5.3) otrzymujemy

/

x³dx x⁴ — 1

1 f 4x³dx

4 J x⁴ - 1

1 ln |x⁴-l| + C.

5.3. Całkowanir funh // wymiernych

c) Przy obliczaniu całki )    zastosujemy podstawienie x—\ = t. Mamy

7(x — l)⁷    4(x — l)⁸    9(x — 1)®

J 0

■/

PRZYKŁAD 9. Rozłożyć funkcję f(x) = y na sumę ułamków pioMy li ROZWIĄZANIE.

Wielomian W(x) = x⁴ + 1 nie posiada pierwiastków rzeczywistych. Rozkładamy W(x) na czynniki w następujący sposób:

x⁴ + 1    =    (x² + l)² - 2x² = (x² + 1 +    + 1 - V2x) =

= (x² + V2x + l)(x² - \/2x + 1).

Przewidujemy rozkład funkcji f(x) na ułamki proste według punktu 2 ł>2)

1    Ax + B    Cx + D

Mnożąc obydwie strony równania przez (x² + \[2x + l)(x² — \j2x + I), otrzymujemy

1 = (Ax + B){x² — \/2x -f 1) + (Cx + D)(x² -f V2x + 1).

Po przekształceniach mamy 1 = (A+C)x³ + (-AV2+B + CV2+D)x² + {A-V2B+C+dV2)x+ B+D.

Porównując współczynniki przy kolejnych potęgach x, otrzymujemy następu jący układ równań:

0

0

0

1.

A + C

-Ay/2 + B + Cy/2 + D A-y/2B + C+y/2D B + D