Ebook5

160

Rozdział 5. Rachunek całkowy

b) Mamy

j ^^-dx = jx-\l + x*)hd

Zatem m = —2, n = 3, p = i. Ponadto

m + 1    11

-+P= “ó + o = °-

n    3    3

Na podstawie przypadku 3) stosujemy podstawienie

\/x³ + 1

t = y/l

+ x~³ =

Stąd mamy x = (t³ — l) ³ oraz dx = —t² (t³ — l) ³ dt. Zatem

\/l -f x

J

■dx =

J t³- i    J t³ - i

Niech / = f przj- Ponieważ t³ — 1 = (t — 1) (t² + t + l) , więc rozkładamy funkcję wymierną    ^ w następujący sposób:

1    A Bt + C

(t -1)(t² +1 +1) “ t -1 ⁺1² + t + r

Wykorzystując metody przedstawione w rozdziale 5.3, otrzymujemy /I =

t [^t - 1 ż^2 +1 + 1	Jdt =
f J(2t +!) + §.. J t^2 + t+l
ln |ż^2 4- < + l| - - J	dt	5^ln|<
	t^2 + t+ 1 "
i r dt	* + 3 ^=
2 J(t+'i)^2 + ł	dt =	dz
\n\t^2 + t + l\ - - j
	fU^2 + i)

21 + 1

B — — i,C = — Zatem

r dt_ i J fi- 1 . 3

V3

=    - ln |£ - 1| - - ln |r + t + l|--— aretg ■    + C

5.6. Całkowanie wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne

I U I

Ostatecznie

\/l + x³

/

₉ dx = —t--ln \t — 1| -I- - ln \t² 4-1 4- l| 4-

x^l    3    6

^1 4-x³

- 1

y/3    2*4-1    _ \ZTTx⁵    1,

+ — arctg—— + C =---- ln

3    >/ 3    x    3

4^ln

\/(i + x³)² \ZTTx⁵

r)    ł    ~ł~ 1

V3 , 2v^/TT5³ + r ,,

+—arctg-Jjf- t >

o    xv 3

5.6 Całkowanie wyrażeń zawierających fimlo j<* trygonometryczne

Przy obliczaniu niektórych typów całek trygonometrycznych przydatne jj wzory

(5.17)

(5.18)

(5.19)

(5.20)

(5.21)

(5.22)

(6.23)

sin q sin (3 = ^ (cos(a — (3) — cos(a -f /?)) cos ot cos (3 = - (cos(a — /?) 4- cos(a 4- /?))

sin a cos (3 = - (sin(a — /?) 4- sin(a 4- /?)) sin 2c* = 2 sin a cos a

9    • 9

cos 2a = cos a — sin c*

. ₂ 1

sin a = - (1 — cos 2a) cos² a = - (1 4- cos 2ck)

Do całek typu f sin^ri xdx, f cosⁿxdx, J tg ⁿxdx, f ctg ⁿxdx, gdzie n ^ 2, n € N, można stosować wzory rekurencyjne:

- y sin"'

- J cos"

f . Tl ,    1    .    n-1    ⁿ ~

/ sin xax =--sin x cos x 4--

J    n    n

f    n .    ¹    n-l •    ⁿ~

/ cos xdx — — cos x sin x 4--

J    n    n

J tgⁿxdx = —-—-tg^n—^x — J tgⁿ~²xdx J ctgⁿxdx =--—-ctg^n-1x — J ctg^71-2

^    1 r

^1-2 xdx xdx