Ebook1

152

Rozdział 5.

Rachunek

całkomt/

Stąd mamy

2

2

t² + 1 —4 tdt {t² + l)² '

2 — x = x(t² + 1)    =

x =

dx =

Po dokonaniu podstawień w całce mamy

fi

1    2 — x

dx =

-²/

~² j^t-^rr^{dt =} -‘¹ / ^{di + 2} /

—2£ -f 2 aretg t + C =

t²dt

t² + 1

2

ż² + 1

= -2

2 — x

•f 2 aretg

2 — x

+ C.

b) Ponieważ najmniejsza wspólna wielokrotność stopni pierwiastków wys tępujących w funkcji podcałkowej wynosi 6, więc stosujemy podstawienie x + 3 = t^Q. Mamy

/

dx

\/ x -I^- 3 T 4 3

= G

/

x + 3 = dx = t =

t³dt t -f- 1

t + 1

— 6 f-ć³ — -1² + t — ln |ż + lA + C —

t⁶

6 t⁵dt \/x + 3 1

=⁶/

t⁵dt

t³ + t²

dt =

= 2 \Jx + 3 — 3    + 3 -I- 6 \Zx + 3 — 6 ln | v^x + 3 -(- 11 + C.

Teraz przedstawimy metody całkowania funkcji zawierających pierwiastek kwadratowy z trójmianu kwadratowego.

Przy obliczaniu takich całek przydatne są wzory

= aresin x + C,

(5.12)

= ln |x + \Jx² + k\ + C, gdzie k € K.

(5.13)

Niech a 0 oraz W_n(x) będzie wielomianem stopnia n. Całki typu I    d^x obliczamy metodą współczynników⁷ nieoznaczonych.

Korzystamy ze wzoru

= W_n-Ax)\/ax² + bx + c + k /    ---,    (5.14)

J Vax² + bx + c

gdzie W_n-i(x) jest wielomianem stopnia n — 1 o nieznanych współczynnikach, które należy wyznaczyć. Tak samo nieznana jest stała k (por. Przykład 13 d).

PRZYKŁAD 13. Obliczyć całki:

ROZWIĄZANIE.

b) Przedstawiamy trójmian kwadratowy — x² — 20x -f 800 w postaci kanonicznej i otrzymujemy

V-x² - 20x + 800 x + 10 dx

[ dt