Ebook5

100

Rozdział 4. Rachunek różniczkowy i jego zastosowania

ROZWIĄZANIE.

a) Wyznaczamy dziedzinę funkcji f(x) = mamy Df = (0, l)U(l,+oo) Obliczamy pochodną funkcji

Badamy znak pierwszej pochodnej. Ponieważ V_xeD_f hi² x > 0, więc

ln" x

Po uwzględnieniu dziedziny funkcji otrzymujemy

f'(x) < 0 <=i> x € (0,1) U (1, e).

Zatem funkcja / jest rosnąca na przedziale (e, -foo), natomiast malejąca lin przedziałach (0,1), (l,e).

b) Dziedziną funkcji g(x) = 4rr + ^ jest zbiór R\ {0}. Obliczamy pochodną tej funkcji

Badamy znak pierwszej pochodnej. Ponieważ V_xeD_(l> x² > 0, więc

4x² — 1

g'(x) > 0 <*=> -x— > 0 <=> 4x² — 1 > 0

x^z

Ponieważ

więc po uwzględnieniu dziedziny funkcji otrzymujemy

Zatem funkcja g jest rosnąca na przedziałach (—oo, — ^), (^, +oo), zaś mało jąca na przedziałach ( — ^,0), (0, ^).

>1.2. Monotoniczność i ekstrema lokalne funkcji

101

I )efinicja 4.4. Załóżmy, że funkcja / jest określona na pewnym otoczeniu punktu xq. Mówimy, że funkcja / ma w punkcie xq maksimum lokalne właściwe (maksimum lokalne) wtedy i tylko wtedy, gdy

3«5>oV_x65_(xo>(5) f(x) < f(x₀) (/(ar) ^ /(ar₀)).

Mówimy, że funkcja / ma w punkcie xo minimum lokalne właściwe (mmi tnurn lokalne) wtedy i tylko wtedy, gdy

3_<5>oV_xe5(x0i(5) f{x) > f(xo) (f(x) ^ f{xo)).

Minima i maksima lokalne funkcji (właściwe lub niewłaściwe) nazywamy ' hstrcmami lokalnymi.

Podamy teraz warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji.

Twierdzenie 4.5. (Fermat) Jeżeli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie Xo i pochodną f'(xo), to f'{xo) = 0.

I Riflnicja 4.5. Punktem krytycznym (stacjonarnym) funkcji / nazywamy inki punkt £o G Df, że f'(xo) = 0 albo f'(xo) nie istnieje.

I wlerdzenie 4.6. Funkcja może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach A i litycznych.

Twierdzenie 4.7. (I warunek wystarczający istnienia ekstremum) i‘ułóżmy, że xq E (a, 6), funkcja f:(a,b) —> R jest różniczkowalnu na jif ( dziale (a, b). Jeżeli }'(xq) = 0 oraz funkcja f spełnia warunki:

1)    istnieje 6 > 0 takie, że f'(x) > 0 dla x E (xo — <5, aro) i f'(x) < 0 dla x E (xo,aro + <$), to w punkcie xo funkcja f posiada maksimum lokalne,

2)    istnieje 6 > 0 takie, że f(x) < 0 dla x E (xo ^- <$, xo) i f(x) > 0 dla x E (xo,xo + £), to w punkcie xo funkcja f posiada minimum lokalne.

Rodzaj ekstremum lokalnego w punktach krytycznych można też ustali* Itry pomocy drugiej pochodnej.