Ebook9

128 Rozdział A. Rachunek różniczkowy i jego zastosowaniu

128 Rozdział A. Rachunek różniczkowy i jego zastosowaniu

v) lim

x—+0

u) lim [ln (1 + z)]¹,

x—>0

(e^x-e~^x)² x‘² cos x

Zad. 10. Wykazać, że funkcja f(x) = \j2x — x² jest rosnąca na przed ziali (0,1), malejąca zaś na przedziale (1,2).

Zad.11. Wykazać, że krzywa y = _ma trzy punkty przegięcia leżące im jednej prostej.

Zad. 12. Wielomian / czwartego stopnia spełnia warunki: /(2) — I /'(2) = o, /"(2) = 2, /'"(2) = -12, /<⁴>(2) = 24. Obliczyć /(-l) i /'(0).

Zad.13. Wiedząc, że Pi(—2,12) jest punktem przegięcia wykresu funK< |i f(x) = ax⁴ — 2x^A + bx² + 15x — 6, wyznaczyć pozostałe punkty przegięcia

Zad. 14. Wyznaczyć asymptoty funkcji: a) f(x) =    + 3x,

h) f(x) = 2x + arctgx,

c)    f(x) = Jlr£-3-

d)    /(*) = %

e)    m = £r_v

f)    f(x) = yjx² - x,

g)    f(x) = -x - 1 + \/z² 4- 1,

h)    /(x) = ln (2C¹ -f 1),

i)    f(x) = ln (2e^x 4- e^-x),

j)    f(x) = \/\ +x² + aretg f.

Zad. 15. Udowodnić następujące nierówności:

a)    2 ln x < x — ^ dla x > 1,

b)    ln (l + j) <    dla x > 0,

c) Ina; <    dla x 6 (0,1),

d) Ina: <    dla x > 1,

'1.9. Zadania

129

e)    ln    dla x e (-00, -1) U (O, +00),

f)    2x — 21n(a; 4-1) > xln(x 4-1) dla x € ( —1,0),

g)    2x — 21n(rc 4-1) < xln(a: 4-1) dla x > O,

h)    ln (1 4- e^z) < x 4- e~^x dla x € R,

I)    ln(2 — x) ^ dla ^x < 2,

J)    e^x — e~^x > 2x dla x > O,

k)    ln(l 4- x) > dla x > O,

l)    cos a: ^ 1 — ^ dla x G R,

m)    sina: 4- tga: > 2x dla x € (0. |),

n)    cos x < dla x 6 (O, |].

Zad. 16. Wyznaczyć współczynniki m,n, p tak, aby krzywa o równaniu y

miała asymptotę poziomą o równaniu y = 4, asymptotę pionową o równaniu x = 3 i aby przechodziła przez punkt .4(0,1).

Zad.17. Sprawdzić, że funkcja y = sin(lna:) 4-cos(lnx) spełnia równanie x²y" 4- xy' 4- y = 0.

Z;id.l8. Sprawdzić, że funkcja y = ln spełnia równanie xy' 4- 1 = t^v.

Zad.19. Sprawdzić, że funkcja y = \x² 4- \x\Jx² 4-1 4- ln y x 4-    I

spełnia równanie 2y = xy' 4- ln y'.

Zad.20. Zbadać przebieg zmienności funkcji:

^ft) /(*) = $s.

b) /(*) =

Zad.21. Na paraboli y² = 4x znaleźć punkt leżący najbliżej prostej y 2x + 4.

Zad.22. Powierzchnia zadrukowanej czyści papieru ma wynosić 600 cm^-, marginesy boczne mają być po 2 cm, marginesy dolny i górny po 3 cm. .Jakie powinny być wymiary kartki, aby jej pole było najmniejsze?

Zad.23. Obliczyć wysokość i promień podstawy stożka o największej objętości wpisanego w kulę o promieniu R.