Ebook4

lift

Rozdział 4. Rachunek m im knury / jego zastosowania

C

Ponieważ A ABC ~ AC DE, więc = j^^j, czyli £ = ^7^. St,j)<l

n_r_ih-H}

n - _h Zatem

V_w = ^A(h - HfH = ^-(h²H - 2hH² + H³). h^z    h^z

Oznaczmy przez V{H) funkcję opisującą objętość walca. Dziedziną t.r| funkcji jest zbiór Dy = (0,h). Obliczamy pochodną funkcji V{H). Mamy

V'(H) = ^t(h² - 4hH + 3H²),

h*

V'{H) = 0 «=> 3H² - 4hH + h² = 0 H = \h V H = h.

O

Ponieważ H € (0, h), więc H = ^h jest punktem krytycznym funkcji V(ll) Następnie badamy znak funkcji V'(H). Mamy

V'{H) > 0 <=> H G

V'(H) < 0 *=> H e

Zatem w punkcie H = ~h funkcja osiąga maksimum lokalne. Ponieważ funkcja V rośnie w przedziale (0, ^h), natomiast maleje w przedziale (3/1, //), więc w punkcie H = funkcja osiąga wartość największą. Obliczamy R mamy R = ^r^~5*¹) — |_r Zatem V_w = 7r(|r)²^/i = r²h. Na konin obliczamy iloraz ^^LŁ, gdzie V_st oznacza objętość stożka. Mamy

Vst _ \nr²h _ 9 V_w ^7rr²/i    4

Zatem stosunek objętości stożka do objętości walca wynosi

PRZYKŁAD 22. Przez punkt P = (1,3) poprowadzić prostą / tak, aby wraz z dodatnimi półosiami układu współrzędnych utworzyła trójkąt o najmniejszym polu.

ROZWIĄZANIE.

Oznaczmy odpowiednio przez A, B punkty przecięcia prostej / odpowiednio z osiami Ox,Oy (rysunek).

y

B

0 1 A

x

Niech A = (a, 0), B = (0,6) oraz y = mx + n będzie równaniem prostej /, Z treści zadania wynika, że a, 6 > 0 oraz m ^ 0. Aby rozwiązać /mianie, należy znaleźć funkcję jednej zmiennej opisującą pole trójkąta O AB i ustalić, kiedy ta funkcja osiąga wartość najmniejszą.

Ponieważ P E /, więc otrzymujemy równanie m + n = 3. Ponadto A € l oraz B 6 /, stąd mamy ma + n = 0 i n = 6. Z powyższych równań otrzymujemy m = — Uwzględniając równanie m+n = 3, mamy 3 = 6—^. Stąd po przekształceniach uzyskujemy

b

(4.2)

Nu podstawie rysunku mamy Paoab = Oznaczmy przez P(b) funkcję opisującą pole trójkąta O AB. Korzystając z zależności (4.2), mamy