Ebook6

I uz liOZdział 1. Hactiunek ró m< knury » jego zastosowania

Twierdzenie 4.8. (II warunek wystarczający istnienia ekstremum) Załóżmy, że funkcja f posiada ciągłą drugą pochodną na pewnym otoczeniu punktu Xq. Jeżeli f'{xo) = 0 i f"(xo) ^ 0, to funkcja ta posiada w punkcie Xq ekstremum, przy czym jest to

1)    maksimum właściwe, gdy f"{xo) < 0,

2)    minimum właściwe, gdy f"(xo) > 0.

PRZYKŁAD 11. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f(x) = x²e~^x. ROZWIĄZANIE.

Wyznaczamy dziedzinę funkcji, a następnie pochodną tej funkcji. Mamy

Df = IR, f'{x) = 2xe~^x + x²e~^x(—1) = e~^x(—x² + 2x), Dy = Dj.

Ponieważ badana funkcja ma pochodną w każdym punkcie, więc może mieć ekstrema tylko w tych punktach, w których f'{x) = 0. Tak więc

f'{x) = 0 <ś=> e~^x(-x² + 2x) = 0.

Ponieważ V_x€r e~^x > 0, więc

f'{x) = 0    —x² + 2x = 0 <=> x = 0 V x = 2.

Badamy teraz znak pochodnej na przedziałach (—oc,0), (0,2), (2, +oo). Mamy

f'[x) > 0 <=>• e~^x(—x² + 2x) > 0 <=$■ —x² -f 2x > 0 x G (0,2), f'{x) < 0 <=> e~^x(—x² + 2x) < 0 •$=> —x² + 2x < 0 <?=> x E (—oo, 0) U (2, +oo).

Zatem w punkcie x = 0 pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, czyli w tym punkcie funkcja / ma minimum lokalne. Natomiast w punkcie x = 2 pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, czyli w tym punkcie funkcja f ma maksimum lokalne. Obliczamy f_min = /(0) = 0, f_max = /(2) = 4e^-2.

Rodzaj ekstremum można również ustalić, korzystając z Twierdzenia 4.8, tzn. badając znak drugiej pochodnej w otrzymanych punktach krytycznych. Mamy

f"(x) = —e^_I(—x² + 2x) + e^_x(—2x + 2) = e~^x(x² - 4x + 2).

4,2. Monotoniczność i ekstrem</ lokalni funkcji

103

Stąd /"(O) = 2 > 0, /"(2) = —2e~² < 0.

/iitcm w punkcie x = 0 funkcja ma minimum lokalne równe 0, zaś w punkcie i 2 funkcja ma maksimum lokalne równe 4e~².

PRZYKŁAD 12. Dla jakich wartości parametrów a i 6 funkcja f(x) = alnrr-ł-b:r ^J -f x ma ekstrema lokalne w punktach x\ = 1 i X2 = 2? Wykazać, że dla wyznaczonych wartości a i b funkcja ma minimum lokalne w x\ i maksimum lokalne w x<i.

ROZWIĄZANIE.

I)ziedziną funkcji f(x) = a\nx+ bx² + x ]est przedział (0,-foo). Obliczamy pochodną funkcji

f'(x) = - + 2bx + 1, Dv = R \ {0}. x

W punktach X\ = 1 i X2 = 2 funkcja / jest różniczkowalna, zatem na podstawie Twierdzenia 4.6 mamy /'(1) = 0 i f'{2) = 0. Otrzymujemy układ równań

f a + 26 + 1 = 0 ^cz T 46 + 1 = 0.

Rozwiązaniem układu jest a = — i i 6 = — g. Zatem

», . 2, 1 ₂

/(*) = -ó ^lna: “ a^X + ^X-O    0

Aby wykazać, że dla tych wartości a i 6 funkcja ma minimum lokalne w x\

I oraz maksimum lokalne w x<i = 2. zbadamy znak drugiej pochodnej w tych punktach. Mamy

⁼    ~ 3^{X +} *’    ⁼ 3^2 ^_ 3’    ⁼ Df'

8t»yd

/"(1) = |>0, /"(2) = -i < 0.

Zatem w punkcie Xi = 1 funkcja ma minimum lokalne, zaś w punkcie i? 2 lunkcja ma maksimum lokalne.