Ebook0

110 Rozdział 4. Rachunek różniczkowy i jego zastosowania

d)

lim

7r v sina:    tt — x

[oo-ool TT - x - sinx [§]

= lim --r-:- =

x-»7T (7r — x) sina:

= lim

— 1 — cos x

x->n — sin x + (7r — a:) cos x

= lim

sin x

x——2 cos x (77 x) sin x 2

= „ = 0,

e)

2 -X    l°°0]    z² Igi    ,•    ^2x    Igi    i-    ²    „

lim x e    =    lim — =    lim    —-    =    lim    —    = 0,

X—» + c©

x—>+oo e

x—>+00 e

x—*+00 e^J

f) W tym przykładzie skorzystamy ze wzoru [f(x)]⁹^ =    gdzir

/(x) > 0. Mamy

.. /l\^SinX[oo°] .. sin x ln —    lim sin x ln 1

1—0+ \x

Obliczamy granicę

lim ( - )    = lim _e^smz,nx = e*-*⁰⁺

x—*0+

.    ,    1 [O oo]    In i [g|    *(-?)

lim sin x ln — = lim -X- = lim -

x—»0 +

1—0+ —

sinx

x—0+

— cosx

.. sin²x [5]    2smxcosx

= lim - = lim -;— = U-

x—>o+ x cos x    x—o+ cos x — x sin x

Zatem

sin x

lim ( —

x—0+ \x

= e° = 1.

g)

lim tg2xlntgx

lim (tgx)^tg211 = ^l lim e^,g2llntgI = e^I_*

Obliczamy granicę

^ o 1 .    [°°⁰ i* lntgx [§1 .. (lntgx)    tgxc<

lim tg 2x ln tg x = lim —,— = lim ,    _ r; — urn —₂

r-? ^{6 b}    -X-    *-f (ctg2x)' x-f -nf

T —> —    ——

4 tg2x

COS² X -2 sin² 2x

= lim

sin² 2x

= lim    = lim (— sin 2x) = —1.

x— f — 2 sin x cos x    x-*\ — sin2x x-»f

111

i /laympioty junkcjt

Zatem

lim (tga:)^tg2:r = e ¹ = -.

e

i>)

,. ev^ — 1 [§]    e

lim —.    = lim -    *    = lim —

*-»o    ^I—*o -££5-

sino:

x—o cos X

= 1,

1 — cosa;\/cos2x [§] sin:rcos2a; + cosa;sin2x [!!| lim-^- = lim

x—>0

= lim

x—>0

x—>0

3 cos x cos 2x — 3 sin x sin 2x

2x\/cos2x

2v/cos2x — ^7== Vcos2x

1.5 Asymptoty funkcji

'ułóżmy, że funkcja / jest określona na pewnym przedziale (a, 6) z wyłączeniem punktu xo G (a, b).

Oeflnicja 4.8. Prosta o równaniu x = xo jest asymptotą pionową pra-iiiontronną krzywej o równaniu y = f(x), jeżeli lim f(x) = -foo albo

X—»X0 ⁺

Hm f(x) = — oo.

• ***0 ⁺

I >«linicja 4.9. Prosta o równaniu x = xo jest asymptotą pionową lewostron "</ krzywej o równaniu y = f(x), jeżeli lim f(x) = +oo albo lim f(x) ■

X—>Xo~    X—>Xo~

»00.

Definicja 4.10. Prostą, która jest jednocześnie asymptotą pionową prali stronną i lewostronną krzywej o równaniu y = f(x) nazywamy asympto-i'i yumową obustronną tej krzywej.

l»• • 1111 i cj a 4.11. F⁵rosta o równaniu y = ax+b jest asymptotą ukośną w +00 [u> -oo) krzywej o równaniu y = /(x), jeżeli lim [f(x) — ax — 6] = 0

X—►+Oo

( Hm [/(z) — ax — b] = 0).

1 'tli a = 0, to prostą o równaniu y = ax + b nazywamy asymptotą poziomą i 1 lywej o równaniu y = f(x) w +00 ( w — 00 ).