7945641932

9 Zastosowania rachunku różniczkowego w ekonomii

Zestaw 9. Zastosowania rachunku różniczkowego w ekonomii

Zadanie 9.1. A baseball team plays in a stadium that holds 55000 spectators. With tickets prices at $10, the average attendance has been 27 000. When ticket prices were lowered to $8, the average attendance rosę to 33 000.

a)    Find the demand function, assuming that it is linear,

b)    how should tickets prices be set to maximize revenue?

Zadanie 9.2. During the summer months Terry makes and sells necklaces on the beach. Last summer he sold the necklaces for $10 and his sales averaged 20 per day. When he increased the price by $1, he found that he lost two sales per day.

a)    Find the demand function, assuming that it is linear,

b)    if the materiał for each necklace costs Terry $6, what should the selling price be to maximize profits?

Zadanie 9.3. A manufacturer has been selling 1000 television sets a week at $450 each. A market survey indicates that for each $10 rebate offered to the buyer, the number of sets sold will increase by 100 per weak.

a)    Find the demand function,

b)    how large a rebate should the company offer the buyer in order to maximize its revenue?

c)    if its weekly cost function is C(x) = 68000 + 150x, how should it set the rise of the rebate in order to maximize its profits?

Zadanie 9.4. The manager of a 100—units apartment complex knows from experience that all units will be occupied if the rent is $400 per month. A market survey suggests that, on the average, one additional unit will remain vacant for each $5 increase in rent. What rent should the manager charge to maximize revenue?

Zadanie 9.5. Koszt produkcji x jednostek towaru, 50 < x < 200, wynosi k(x) = 60x — 0.25x³/² + 80 zł. Natomiast utarg wynosi u(x) = 70x — 0.03x² zł. Podać funkcje: k_kr(x) kosztu krańcowego, u_kr(x) utargu krańcowego oraz z_kr(x) zysku krańcowego. Ile wynosi koszt krańcowy, utarg krańcowy oraz zysk krańcowy dla x = 100?

Odp.: k_kr (x) = 60-0.375^, u_fcr (z) = 70 - 0.06x, k^ (100) = 56.25, u_kr (100) = 64, z_kr (100) = 7.75.

Zadanie 9.6. Przy produkcji i sprzedaży x jednostek towaru, 50 < x < 100, zysk firmy wynosi f(x) = 144.x — x² — 400 zł (144 zł to bezpośredni zysk na każdej jednostce, lecz koszty reklamy i koszty stałe powodują stratę x² + 400 zł ). Firma produkuje obecnie x = 70 jednostek towaru i na każdej jednostce ma zysk /(70)/70 = 4780/70 « 68.29 zł. Czy opłaca się jej zwiększyć produkcję? Ile wynosi wartość krańcowa zysku dla x = 70? Wyznaczyć funkcję krańcową zysku.

Odp.: f_kr (x) = 144 — 2x, dla x = 70 f_kr (70) = 4, więc produkcję opłaca się nieco zwiększyć (ale o nie więcej niż 2 jednostki).

16