7945641933

9 Zastosowania rachunku różniczkowego w ekonomii

Zadanie 9.7. For each of the given cost functions find (a) the cost, average cost and marginal cost of producing 1000 units; (b) the production level that will minimize the average cost; and (c) the minimum average cost

1) C{x) = 10000 + 25x + x²    2) C(x) = 1600 + 8x + 0.01x² 3) C{x) = 45 + § + ^

4) C(x) = 2000 + 10x + 0.001x³ 5) C{x) = 2y/x + ^    6) C{x) = 1000 + 96x + 2x§

Odp.:

1)    (a) a (1000) = 1035000, (7(1000) = 1035, (7^.(1000) = 2025 (b) 100 (c) (7(100) = 225

2)    (a) (7(1000) = 19600, <7(1000) = 19.6,    (1000) = 28 (b) 400 (c) C{x) = 16

3)    (a) (7(1000) « 2330.71, C(1000) « 2.33, C_kr (1000) w 4.07 (b) 158 (c) <7(158) » 1.14

4)    (a) <7(1000) = 1012000, <7 (1000) = 1012, C_kr (1000) = 3010 (b) 100 (c) <7(100) = 400

5)    (a) (7(1000) « 188.25, <7(1000) « 0.19, C_kr (1000) w 0.28 (b) x = 400 (c) (7(400) « 0.15

6)    (a) (7(1000) « 16025, C (1000) « 160.25, CW (1000) = 190.87 (b) 100 (c) (7(100) « 126.

Zadanie 9.8. For each of the given cost function find the production level at which the marginal cost starts to increase

a) C{x) = O.OOla;³ - 0.3a;² + 6x + 900 b) C(x) = 0.0002x³ - 0.25a;² + 4x + 1500 Zadanie 9.9. Wyznaczyć elastyczność funkcji:

a) y = 3x — 6    b)    y    =    l + 2x —    x²    c)    y = 2a;² + 3x — 2

d) y = 120 — 0.4a:²    e)    y    =    e~^x    f)    y = a;Ina:

g) y — x - 6 dla x — 10    h) y = 1 + 2a: +    \x²    dla x — 1

Zadanie 9.10. Przy produkcji x ton pewnego proszku dziennie, koszt produkcji każdej tony wynosi 4700 — 2x zł. Podać elastyczność kosztu produkcji ze względu na wielkość produkcji. Jak wpłynie zwiększenie obecnej produkcji 86 ton o każdy procent na zmniejszenie kosztów produkcji każdej tony?

Odp.: E_k(x) = — 235o-x ■ Zwiększenie produkcji o 1% spowoduje zmniejszenie kosztów produkcji każdej tony o około 0.038%.

Zadanie 9.11. Funkcja popytu na pomidory ma postać y = 120 — 0.4a;², gdzie x oznacza cenę pomidorów w zł na kg, natomiast y popyt miesięczny w kg na osobę. Wyznaczyć elastyczność popytu dla ceny maksymalizującej utarg.

Zadanie 9.12. Pewna firma może wyprodukować x sztuk pewnego towaru miesięcznie przy koszcie produkcji sztuki po 130 — 0.01x zł, zaś każdą sztukę można sprzedać w cenie 800 — 0.5x zł. Ponadto stałe miesięczne koszty firmy wynoszą 90000 zł. Firma jest w stanie wyprodukować miesięcznie co najwyżej 650 sztuk. Przy jakiej miesięcznej produkcji zysk jest maksymalny i ile wynosi?

Zadanie 9.13. Jakie wymiary powinien mieć walec o podstawie kołowej, aby zminimalizować koszty materiału na jego wykonanie? Walec ma mieć pojemność 8800 cm³. Na wycięcie kół na obie podstawy trzeba przeznaczyć odpowiednie kwadratowe kawałki materiału. Cena materiału na obie podstawy jest o 10% wyższa niż koszt materiału na powierzchnię boczną.

17