Ebook2

114

Rozdział 4. Rachunek różniczkowy i jajo zastosowaniu

W

l (i. Dowody równości i nu mwnoaci

posiada asymptotę ukośną w -f oo. Mamy

T

1 1

a = lim

aretg x

= lim

b = lim

X—►+<

x-*+oo x    z—*+oo aretg x |    7r’

X 2 \ foo-ool    /    1    2 \ [oo-0]

= lim

x—»+oo

2 --X 7T	^ (°°.
- [2] 7T l 0 J	lim

x-*+oo Ą aretg x n i

(l+x²)(arctgx)²

- =

x—»+oo

= lim

11111    «    --“T

i—+oo    + 1 (aretg x)²

Prosta y = ln 4 jest asymptotą poziomą funkcji / w -foo. Ponieważ

lim ln (2e~ ^ix + 4) = — oo,

X—*— oo

więc funkcja nie posiada asymptoty poziomej w —oo. Sprawdzimy, czy funkcja posiada asymptotę ukośną w —oo. Obliczamy

,    ln (2e-^3x + 4) Irfe]    -6e-³¹

a = lim - = lim    -- =

x—♦— oo    x    x—►—oo Ze ⁰¹ + 4

-6e“^3le³¹    -6    G

= lim ——^= lim --tt- =    _■ i

x"-oo (2e-^3x + i)e³*    1--00 2 + 4e³*    2 + 0

Ponieważ

lim

x—«+oo X^x

X~    1    7T

t?- = lim -r- = 1 i lim aretg x = —,

²-fi x-+oo 1 + \    x ► -j-oo ⁶    2

Dalej mamy

więc

6 = lim

x

x-*+oo x² + 1 (aretg x)² tt² Zatem prosta y = |x 4- ^ jest asymptotą ukośną w +oo. Obliczamy

V = lim (ln (2e~³¹ + 4) + 3x)    lim (ln (2e‘^3:t + 4) + lue³")i

X—♦ — OO    X—»—OO

= lim ln e^3l(2e^-31 + 4) = lim ln (2 + 4e^3z) = ln 2.

X—♦ — OO    X—♦ — oo

Zatem prosta y = —3x + ln 2 jest asymptotą ukośną funkcji /(x)

ln (2e^_3x -f 4) w —oo.

1

1

a' = lim £*«£ = li_m

x * oo x x—-oo aretg x |

< /    .. I X    2 \ [oo—oo]

6    = lim (--1—x )    = lim x ,

-oo \ aretg x    7r /    x—-oo    Ąaretgx    7r

i | ² _£    i

_    aretgx ^ tt l_g_l    (l+x²)(arctgx)² _

X—*—oo

¹    ₊    [(—oo)0)

i

= lim

x‘

X—* —oo

1    4

1

x * — oo X² + 1 (aretg x)²    7T²

Prosta y = —^x + ^ jest asymptotą ukośną w —oo. c) Wyznaczamy dziedzinę funkcji /(x) = ln (2e"~³¹ -f 4). Ponieważ

V*_eR 2e~^3x + 4 > 0,

więc Df = R. Zatem funkcja nie posiada asymptoty pionowej. Sprawdzamy, czy funkcja posiada asymptotę poziomą w +oo oraz w —oo. Mamy

lim_ln (2e^-3z + 4) = ln (0 + 4) = ln 4.

4.6 Dowody równości i nierówności

Metody rachunku różniczkowego mogą być wykorzystywane do dowodzenia równości i nierówności.

PRZYKŁAD 18. Udowodnić równość arcsinx + arccosx = | dla x E [ 1,1). ROZWIĄZANIE.

Rozważmy funkcję /(x) = arcsinx -f arccosx dla x € [—1, lj.

Marny f'(x) =    ^    ^ = 0 dla x E ( — 1,1). Ponadto dla x = 1

mamy /(1) = | -f 0 = |, a dla x = —1 mamy /(—1) = — f + 7T = Zatem /(x) = const dla x E [—1,1]. Weźmy np. x = 0. Mamy /(O) = aresin 0 + arccos 0 = 0 -P | = §.

Zatem aresin x + arccos x = | dla x E [—1,1].

PRZYKŁAD 19. Udowodnić nierówność ln (1 — j) > dla x E (1, -foo).