Ebook1

I 1 Ł

nożami i imcninuK ><) m< .Kowy i jego zastosowańm

4.5. Asymptoty funkcji

113

Twierdzenie 4.13. Jeżeli istnieją i są właściwe granice

f(x)

lim -= a, lim (f(x) — ax) = b

x—►4*00 X    x-»+oo^{V V} ’    ’

więc także prosta x — -2 jest asymptotą pionową obustronną funkcji f(x) =

l^:1+4x² x²—4 '

Sprawdzamy, czy funkcja posiada asymptotę ukośną w +oo. Mamy

( lim ^ ^ = a!, lim (/(x) — ax) = b'

\x-*-oo X    x—►—oo

to prosta o równaniu y = ax-\-b (y = a'x + b') jest asymptotą ukośną w I < ki (—oo) krzywej o równaniu y = f(x).

Twierdzenie 4.14. Jeżeli lim /(x) = b, I lim f(x)=b), to prostu

x—*+oo    yx—*— oo    J

y = b jest asymptotą poziomą krzywej o równaniu y = f(x) w +oo (—oo).

a =

b =

lim

x—»+oo

lim

x—*+oo

c³+4x² x² —4

X

X³ + 4x²

= lim —-:— = lim

>+oo x³ — 4x

= lim o a

x—*+oo X^z — 4

x³ -f 4x²    \    x³ + 4x² — x³ 4- 4x

—^----x = lim -2---

x^z — 4    )    x—*+oo    x^z — 4

4x² + 4x

= 4.

x—►—oo X³ — 4x

PRZYKŁAD 17. Znaleźć asymptoty funkcji:

a)    /(*) = 4^,

^b)    /(*) =

^c) f(^x) = ln(2e“³¹ + 4).

ROZWIĄZANIE.

a) Dziedziną funkcji f(x) =    jest zbiór (-oo, —2) U ( — 2, 2) U (2, -t-oo).

Funkcja może mieć asymptoty pionowe o równaniach x = 2, x = —2 oraz asymptoty ukośne w obu nieskończonościach. Obliczamy granice

Otrzymujemy zatem, że prosta y = x -ł- 4 jest asymptotą ukośną funkcji

/(*) = ^w +°°-Ponieważ

x³ + 4x²

lim    IEEE-- lim ^xj^ix = 1

x—♦—oo    X

oraz

lim

x—2+

x³ + 4x² x² — 4

x³ + 4x²

lim --—--

x-+2⁺ (x — 2)(x + 2)

6

0+

= +oo,

więc prosta y = x + 4 jest asymptotą ukośną funkcji /(x) = ^xxt*Ą ^w +°°

i -oo.

lim

x—*2^-

x³ + 4x² x² — 4

lim

x—»2^-

x³ + 4x² (x — 2)(x -f 2)

Zatem prosta x = 2 jest asymptotą pionową obustronną funkcji f(x) -

x³-f 4x² x²-4 '

Ponieważ

lim

x—-2+

x³ -f 4x² x² — 4

x³ -I- 4x^

b) Dziedziną funkcji f(x) =    jest zbiór (—oo, 0) U (O, +oo). Obliczamy

granice

lim -

x—o+ arctgx

lim

x—*0+

1

i

l+x²

= 1,

= lim

-2+ (x - 2)(x + 2)

lim

x—*—2“

x³ + 4x² x² — 4

lim

x—-2-

x³ -f 4x² (x — 2)(x + 2)

= -1-00,

,    *    [£] i

lim - = lim —j— = 1.

*-o- arctgx    x—»o~

Zatem funkcja / nie posiada asymptoty pionowej. Sprawdzamy, czy funkcja