str184 (3)

184    3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA

natomiast funkcja /₂(S) ma tylko dwa bieguny jednokrotne S_y oraz S₂ określone powyższymi wzorami. Wyznaczamy obecnie oryginał /,(/) funkcji (4), stosując wzór (3.5)

ij(0= Z res [7₁(S)e^s,] =

k = 0 S=S_k

Uo Uo(R₂ + S₁L₂)e^s‘^,    ^/₀(R₂ + S₂Ł₂)e^Sł,

Ri S₁(L₁L₂ — Lf₂)(S₁—S₂) S₂(L_lL₂ — L²2)(S₂ — S_i) co możemy zapisać w następującej postaci:

t/₀    ^o[(R₂ + S₁L₂)S₂g^s‘^l+(R₂ + S₂Ł₂)S,e^52ł]

W analogiczny sposób jak i\(/) wyznaczamy natężenie prądu z'₂(0 indukowanego w drugim obwodzie, a mianowicie:

i₂(0=t res [/₂(S)e^St] =

k — 1 S = S_k

U₀L₁₂e^Sl'    U₀L_i2e^S2‘ ₌

(L\L₂ — L²2)(S_t —S₂) (L_xL₂ — L_I2)(S_l — S₂)

(7oL, ,(/•'-e^s>')

S₀, S_t i S₂ występujące w zależnościach na i\(l) oraz /₂(/) określone są wzorami (6). Zadania do rozwiązania

1.    Rozwiązać równania różniczkowe przy danych warunkach początkowych:

a)    y"-2y'+y' = /V,    j(0) = /(O) = 0,

b)    /" + 3y" + 3/ +7 = 6e~',    y(0) = >-'(0) = /'(O) = 0,

_c)    y"-3y>₊₂y = I2e³',    y(0) = 2, /(O) = 6,

d)    y" + fy = 3sin/+ 10cos3/,    7(0) = —2, y\0) = 3,

^e) y"~y — 4sin/ + 5cos2/,    >’(0) = — 1, /(O) = —2,

f)    y"+y = cos/, 7(0) = o, ><'(0) = o,

g) y"-2y'+2y = 2e'cos/,    y(0) = 0, 7'(0) = 0,

h)    y" + 9y = 30cosh /,    7(0) = 3, 7'(0) = 0.

2.    Rozwiązać równania różniczkowe przy danych warunkach początkowych:

a)    y"—2ay'+(a²+b²)y = 0,    y(0) = 0, /(0) = 1,'

b)    y" + 4y = sin/, 7(0) = /(0) = 0,

c)    /"+/ = e²',    y(0) = /(0) = /'(0) = 0,

d) /'+/ = t²+2t,    j(0) = 4, /(0) = —2,

e) /*>+/" = cos/, 7(0) = /(0) = 7"(0) = 0, /''(O) = e,

f)    4/"-87"-/-37 = -8e',    7(0) = /(0) = 7"(0) = 1,

_g)    7W + 47 = i²,    7(0) = 7'(0) = /'(0) = /"(0) = 0,

h)    y⁽⁴⁾ + 2a²y" + a²y = coslui/, 7(0) = 7'(0) = 1, 7"(0) = 1—2<j², 7"'(0) = —2a².