Ebook8

I uu

nuzuziui h. nucnuncK równi< Kowy v jcyn zastosowaniu

zmienia znak. Mamy /(ea) = |e 3. Punkt P = (e3,|e 3) jest więc

punktem przegięcia wykresu funkcji /.

1 2

b) Dziedziną funkcji J(x) = xe~i^x jest zbiór R. Obliczamy pierwszą, a następnie drugą pochodną funkcji /

f'{x) = e~ź^x2 + xe~2^x2(—x) = e“2^l2(l — x²),

f"(x) = e~^^x2(—z)(l — x²) — 2xe~^^x2 — e~?^x2(x³ — 3x).

Mamy Dj> = Df» = R. Rozwiązujemy równanie f"(x) = 0. Ponieważ V_x€k e^_2^x2 > 0, więc mamy

f"{x) = 0 <=> x³ — 3x = 0 <=> x = —y/3 V x = 0 V x = \/3.

Badamy znak drugiej pochodnej, wykorzystując znane metody rozwiązywania nierówności wielomianowych

f"{x) > 0    x £ ( — y/3, 0) U (\/3, +00),

f"(x) < 0    x £ ( — 00, — y/Ś) U (0, y/3).

Zatem funkcja jest wypukła na przedziałach (—\/3, 0), (\/3, +00), natomiast

wklęsła na przedziałach (—oc, —\/3), (0, >/3)- Ponieważ f" zmienia znak

przy przejściu przez punkty — \/3, 0, >/3, więc funkcja posiada trzy punkty

przegięcia o odciętych x = — y/3, x = 0 i x — y/3. Mamy f(—y/3) =

— \/3e~i, /(0) = 0 oraz f(y/3) = \/3e^-i.

Zatem punkty Pi = (—\/3, — \/3e^-i), P2 = (0,0), P₃ = (>/3, \/3e^_i) są

1 2

punktami przegięcia wykresu funkcji f{x) = xe~i^x .

PRZYKŁAD 14. Wyznaczyć przedziały, na których funkcja f(x) = Ijf jednocześnie malejąca i wklęsła.

ROZWIĄZANIE.

Dziedziną funkcji f(x) = jest zbiór Df = (0, -foo). Aby wyznaczyć przedziały, na których funkcja / jest jednocześnie malejąca i wklęsła, należy rozwiązać układ

/'(*) < 0

f"(x) < 0.

4.3. Wypukłość, wklęsłość i punkty przepięcia wykresu funkcji

107

Korzystając z Przykładu 13 a), mamy dla x G (0, +oo)

oraz

f"(x) < 0 x G (0,e3).

Ponieważ 2xy/x > 0 dla x G (0, -foc), więc

f'(x) < 0 <*=> 2 — Ina: < 0 <ś=> lne² < Ina:    x > e² <==> x G (c², I oo).

Zatem rozwiązaniem układu jest x G (0,e3) n (e², +oo). Stąd x G (e²,fi).

PRZYKŁAD 15. Pokazać, że funkcja f(x) = \/l -f X¹ — ln ^

jest rosnąca i wklęsła na przedziale (0,+oo).

ROZWIĄZANIE.

Widać, że funkcja / jest określona na przedziale (0, +00). Obliczamy pierwszą pochodną funkcji /. Mamy

x

x

~^x\Z¹ + Z* ~ ^l\

^x*\!¹ + z¹ )

Po przekształceniach otrzymujemy }'{x) =

Ponieważ f'(x) > 0 dla x G (0, +00), więc funkcja / jest rosnąca na przedziale (0.-foo).

Obliczamy drugą pochodną funkcji. Mamy

Dla x G (0,+oc) mamy f"(x) < 0. Zatem funkcja / jest wklęsła na przedziale (0, -foc).