Ebook5

140 Rozdziału. Rachunek całkowy

b)

/

are ¹ dx

-x² = t —2 xdx = dt xdx = —\dt

/(t) = t g'(t) = e¹ f'{t) = 1 g(t) = e^ł

-\i

= \ (te* - J e‘dt) = i (te¹ - e¹) + C =

₌ e~^x\~x² - 1) _t    e~^l2(x² + 1) _{| c}

te¹dt

+ C =

c) Mamy

f Ina; — 1    f\nx    f dx f dx f dx

J ⁼ J ~ J h^c⁼ J tai ” J h?x'

Niech /-/&. Całkę tę oł)liczymy, całkując przez części. Mamy

r dx J \nx

X

ln x

+

f dx

J inV

Zatem

f \nx — 1 , x f dx f dx x

/ -ó dx = - + / -—k--/ —T5— = -— + C.

J \n^z x    Ina:    J hr x J \n^z x lnx

/^si

sin ln xdx

/(x) = sinlnx g'(x) = 1 /'(i) =    5(x) = i

= a; sin lnx

-/

coslnxdx.

Całkę / coslnxdx obliczymy także metodą całkowania przez części. Mamy

jcos

/(x) = coslnx </(x) = 1

/'(*) =-siaias _ff(i) = x

Na podstawie tycłi obliczeń otrzymujemy

ln xdx

/

= x cos ln x + / sin ln xdx

sin ln xdx = x sin ln x — x cos ln x

/^si

sin lnxdx.

5.2. Całkowanie prze i podstawienie, całkowanie przez części

141

Stąd mamy

Zatem

2 J sin ln xdx = x sin ln x — x cos ln x + C. J sin ln xdx = ^ (sin ln x — cos ln x) + C\.

Metodę całkowania przez części można wykorzysta do wyprowadzi nia wzorów rekurencyjnych dla niektórych całek np. J sin^M uh / In" uh f    gdzie n 6 N, n ) 2, Wzory rekurcncyjne (nazywano te/ woinnn

redukcyjnymi) wyrażają daną całkę przez całkę o niższej potędze funkcji podcałkowej.

PRZYKŁAD 5. Wyprowadzić wzór na całkę / lnⁿ xdx dla n ) 2, n 6 N, a następnie obliczyć f ln⁴ xdx.

ROZWIĄZANIE.

Niech I_n = flnⁿ xdx, gdzie n ) 2, n G N. Całkując przez części, otrzymujemy

Dla n = 1 mamy

f t nr\ — In t n* (rr\ — 1

= x\nx — x + C.

f{x) = lnx g'{x) = 1

f(x) = \ gW = x

Na podstawie uzyskanego wzoru obliczymy / ln⁴xdx. Mamy

■/

ln xdx

/ 1 n^71 xdx	f(x) = ln^n x	g\x) = 1
1	f(x) =	g{x) = x

= xlnⁿx — n J ln^{n 1} xdx = x lnⁿ x — nI_n-\.

/

ⁱⁿ‘”"

= x ln⁴ x — 4(x ln³ x — 3 J ln² xdx) =

= x ln⁴ x - 4x ln³1 + 12(x ln² x - 2 y ln xdx)

= xln⁴x — 4xln³x + 12xln²x — 24(a ln./ < ) M ’ = x(ln⁴x — 41n³x + 121n²x    24 ln « I 24) I (’

1

Całkując przez części, otrzymujemy