Ebook0
150 Rozdział 5. Rachunek całkowy
Niech 11 = J ■ Ponieważ A < 0, więc przedstawiamy trójmian
w postaci kanonicznej. Mamy x2 -f x 4- 1 = (a: + ^)2 4- |. Zatem
h =
/
dx
(z + h2 + i
2\/3 3
Ostatecznie uzyskujemy x5 4- 2
/
;3 — 1
x+\ —
dx — ^$dt _ 2x+l
t =
_v/3 f ”2 7 1
dt
*2.3 4Ł '4
r dt 2\/3 „ 2\
J WTi = —arctst + c = ~
2\/3 2x 4- 1
arctg-7=--(- C.
v/3
dx =
x2 4-
1 x2 -(- x 4- 1
dx =
= -x3 4- ln \x — 1| —
2\/3
arctg
2x 4- 1
v/3
+ C.
b) Rozkładamy wielomian W(x) = x4 4- 12x3 4- 52x2 4- 96x 4- 64 na czynniki i otrzymujemy W(x) = (x 4- 2)2(x 4- 4)2. Następnie rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste
x2 A B C D
(x 4- 2)2(x 4- 4)2 x 4- 2 (x 4- 2)2 x 4- 4 (x 4- 4)2
Mnożymy obydwie strony równania przez (x 4- 2)2(x 4- 4)2 i uzyskujemy równanie
x2 = A(x 4-.2)(x 4- 4)2 4- B(x 4- 4)2 4- C(x 4- 2)2(x 4- 4) 4- D(x 4- 2)2.
Dla x = —2 mamy 4B — 4, a stąd B = 1.
Dla x = —4 mamy 4D — 16, a stąd D = 4.
Po wstawieniu B = 1 i D = 4 do równania otrzymujemy
x2 = (A + C)x3 4- (10A 4- 8C 4- 5)x2 4- (32A 4- 20C 4- 24)x 4- 32,4 + 16C 4- 32.
Aby znaleźć A i C, rozwiązujemy układ równań
A + C = 0
10A 4- 8C 4- 5 = 1
5.4. Całkowanie funkcji niewymiernych
Rozwiązaniem tego układu jest A = — 2 i C — 2. Zatem
/
x2dx
(x 4- 2)2(x 4- 4)2
2 1
+
+
+
x 4- 2 (x 4- 2)2 x + 4 (x + 4)2
dx
= _2 ,n ]a: + 2, _ _1_ + 2 )n k + 4| _ + c _ = 2(ln |x + 4| - ln |x + 2|) - (-A +-i_) + C
= 2 ln
x 4- 4 x 4" 2
5x4-12 x2 4- 6x 4- 8
5.4 Całkowanie funkcji niewymiernych
Na początku omówimy metody wyznaczania całek funkcji zawierających pierwiastki funkcji homograficznej.
Niech R(u,v) oznacza funkcję wymierną dwóch zmiennych u i v.
Całki typu Jr(x, dx> Sdzie n > 1, n € N oraz ad - bc / 0,
obliczamy, stosując podstawienie = tn.
Rozważmy teraz całki typu J R ("^1^, .....dx,
gdzie Tli ^ li rii G N, i — 1, 2,..., /c, zaś 7? jost funkcją wymierną k 1 zmiennych. Takie całki obliczamy, stosując podstawienie — tN gd/i(* N jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb nt) i = 1,2,.. k Oba omówione wyżej podstawienia sprowadzają te całki do całek z funkcji wymiernych.
PRZYKŁAD 12. Obliczyć całki:
a) 5l\IWdx>
b) I
ROZWIĄZANIE.
a) Przy obliczaniu całki f zastosujemy podstawienie 2~J = t2
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Ebook5 140 Rozdziału. Rachunek całkowy b) / are 1 dx -x2 = t —2 xdx = dt xdx = —dt /(t) = t g
Ebook2 154 Rozdział 5. Rachunek całkowy c) Obliczamy pochodną funkcji /(x) = x1 4- 4x 4- 3, mamy f
Ebook2 134 Rozdział 5. Rachunek całkowy Twierdzenie 5.2. Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale
Ebook3 130 Rozdział 5. Rachunek całkowiy wyprowadzić następujące wzory: f (x)dx / /(i) J7M = 2^) +
Ebook8 146 Rozdział 5. Rachunek całkowy gdzie B, B2,..., Bn, C, C2, ■ •., Cn to pewne stałe, które
Ebook5 160 Rozdział 5. Rachunek całkowy b) Mamy j ^^-dx = jx-l + x*)hd Zatem m = —2, n = 3, p = i.
Ebook9 168 Rozdział 5. Rachunek całkowij ,r> Zadania Zad.l. Obliczyć całki:a)
Ebook4 lift Rozdział 4. Rachunek m im knury / jego zastosowania C Ponieważ A ABC ~ AC DE, więc = j^
Ebook4 158 tał 5. Rachunek całkowy Ponieważ VxCr x + Jx2 4- 1 > 0, więc I — h + ln (x + yjx2 + 1
Ebook8 l(i() Rozdział 5. Rachunek całkowy Całkę /i obliczymy, stosując podstawienie tg
Pochodne1 jpeg 150 Rozdział 6. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmierm 6.3. Znaleźć pochodną (jeś
176 X. Zastosowania rachunku całkowego Niech M* oznacza dowolny punkt powierzchni, określony przez
200 X. Zastosowania rachunku całkowego ślonym kątem (F, s); ponieważ zmiany tych wielkości przy
219 X. Zastosowania rachunku całkowego Niech M będzie jakimkolwiek punktem na luku AB i położenie te
Obraz5 150 Rozdział 6. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmit 0.3. Znaleźć pochodną (jeśli istnie
Ebook1 92 Rozdział Rachunek różniczkowy i jr9(> zastosowania f w punkcie xo nazywamy granicę wła
Ebook2 94 Rozdział 4. Rachunek różniczkowy i jego zastosowaniu Na podstawie definicji pochodnej fun
Ebook3 96 Rozdział 4. Rachunek różniczkowy i jego zastosowaniu d) y = x35xarctgx. ROZWIĄZANIE. a)
więcej podobnych podstron