0198

200

X. Zastosowania rachunku całkowego

ślonym kątem (F, s); ponieważ zmiany tych wielkości przy przesunięciu punktu z M do M' są — przy małym ds — również małe, zaniedbujemy te zmiany przyjmując, że siła Fi kąt (F, s) są w przybliżeniu stałe i znajdujemy w ten sposób dla elementu pracy odpowiadającego przyrostowi ds wyrażenie

dA = Fcos (F, s) ds.

Cała praca A wyraża się ctdką

s

(9)    A = / Fcos (F, s) ds .

*0

Z tego wyrażenia ogólnego na pracę siły F wynika, że dla (F, s) = tt/2 praca jest równa 0. Rzeczywiście, wtedy cos (F, s) = 0, a więc funkcja podcałkowa jest tożsamościowo równa 0. Widzimy więc, że siła prostopadła do kierunku przesunięcia nie wykonuje pracy mechanicznej.

Jeśli siłę F działającą na punkt rozłożymy (w myśl reguły równoległoboku) na dwie składowe — styczną do toru punktu, tzn. do kierunku ruchu i normalną do niego, to zgodnie z tym, co powiedzieliśmy, pracę wykonuje tylko składowa styczna F, = Fcos (F, s):

s

(9a)    A = / F, ds.

*0

Przyjmijmy teraz, że siła Fjest wypadkową wszystkich sił działających na punkt. Wtedy w myśl prawa Newtona składowa styczna F, jest równa iloczynowi masy m punktu przez jego przyśpieszenie a. Wyrażenie na pracę A można więc napisać w postaci

s

A = j ma ds .

*0

Przypominamy teraz, że dv

a — — dt

.    ds    .    dv ds do

, v = ^y~, a więc a = ±---— = ^-c;

dt    ds dt ds

w tym przypadku mamy

s    s

A = f mo-^-ds = [ d(±nw¹) = ±mvⁱ\^s =±_mV²-l-mvl, J ds j '2    /    2    |«o    2    2

gdzie v₀ i V oznaczają prędkości punktu odpowiednio w początkowym i końcowym punkcie drogi.

Jak wiadomo wielkość -y mv² jest energią kinetyczną punktu. W ten sposób otrzymaliśmy więc ważne twierdzenie:

Praca A wykonana przez silę, przy której działaniu odbył się ruch punktu materialnego, jest równa przyrostowi energii kinetycznej punktu.

Rozumie się, że zarówno praca, jak i przyrost energii kinetycznej mogą być ujemne. Zasada ta, którą można rozszerzyć i na układy punktów materialnych i na ciała stałe, gra w mechanice i fizyce bardzo ważną rolę. Nazywa się ona prawem zachowania energii kinetycznej.

354. Przykłady. 1) Dla przykładu zastosujemy wzór (9) do obliczenia pracy przy rozciąganiu (lub przy ściskaniu) sprężyny, której jeden koniec jest zamocowany (rys. 43); z zadaniem tym można się spotkać na przykład przy konstrukcji zderzaków do wagonów kolejowych.

Wiadomo, że wydłużenie 5 sprężyny Gęśli tylko nie jest ona przeciążona) wywołuje naprężenie p, proporcjonalne do wydłużenia, czyli p — cs, gdzie c oznacza pewną stałą, zależną od sprężystych własności sprężyny. Siła rozciągająca sprężynę powinna równoważyć to naprężenie. Jeśli brać pod uwagę tylko tę część siły działającej, która powoduje to wydłużenie, to jej praca przy wydłużeniu od 0 do S wyraża się wzorem

cS²

2

j p ds = c j s ds = c -Ą—