0154

156

X. Zastosowania rachunku całkowego

Na mocy (14) mamy— Kt

(15)

-J— dla wszystkich s. tzn. [270, (2)] 1^2

d<x, _ dx₂ ds ds

Oprócz tego z założenia mamy dla s = 0

(16) i	^xi = *2
(17)	a,

Z równości (15) w myśl wniosku z ustępu 131 wynika, że kąty a_t i oc₂ mogą się różnić tylko o stałą; ale jak widzieliśmy, dla s = 0 są one takie same, a więc równość (17) zachodzi dla każdego Wobec tego mamy dla wszystkich wartości parametru s

dx,    dx₂

—:— = cos a, = cos a, = —■— . ds    ds

dy,    dy₂

—7— = sin a, = sin a, =    ,    .

ds    ds

Stąd w analogiczny sposób stwierdzamy, że także równości (16) zachodzą zawsze, a to znaczy, że krzywe pokrywają się.

Pokażemy teraz, jak z równania naturalnego krzywej otrzymać jej równania para-

j

metryczne. Przede wszystkim z (14) mamy — = g(s), a zatem

ds

(18)

a = f g(s)ds + oc₀ ,

O

gdzie a₀ jest pewną stałą. Całkując następnie stronami równości

(19)

otrzymujemy

(20)

x

dx — cos a ds, dy = sin a ds,

S

/

cos ads+x₀,

y = J sina t/s+y₀ »

o

gdzie x₀ i y_Q oznaczają nowe stałe.

Nietrudno zauważyć, że obrót krzywej powoduje zmianę stałej a₀, a przesunięcie równoległe krzywej jest związane ze zmianą stałych x₀ i y₀ ('). Jeśli wszystkie te stałe są zerami, to oczywiście krzywa jest położona tak, że punkt, od którego liczymy długość luku, pokrywa się z początkiem układu współrzędnych, a dodatni kierunek stycznej do krzywej w tym punkcie — z dodatnim kierunkiem osi x.

(') Odwracając te rozumowania otrzymujemy łatwo nowy dowód wypowiedzianego wyżej twierdzenia.