0202

204

X. Zastosowania rachunku całkowego

żonych przyjmuje się zazwyczaj, że ciśnienie rozkłada się na nich w ten sposób, iż praca siły tarcia (na jednostkę, pola) a wraz z nią i zużycie zachowuje wszędzie wielkość stałą. Dzieląc pracę elementarną dA = ■= to dM przez pole 2nr dr pierścienia elementarnego, możemy napisać nasze założenie w postaci

wupr = const, skąd także pr = c = const;

a więc zakładamy, że ciśnienie p zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do odległości r od środka. Podstawiając c zamiast pr w warunku (11), znajdujemy wielkość tej stałej

*

P = 2nc f dr = 27rc (R — r₀),    skąd c = -.

•    2n(R~r₀)

^rO

Wreszcie podstawiając we wzorze (12) w miejsce pr otrzymane wyrażenie, otrzymujemy wynik

^M=*T(£^)- / ■^r    {R+ro) ■

'o

Dla czopa pełnego M = y fiPR.

Oczywiście strata mocy z powodu tarcia w przypadku czopów dotartych jest mniejsza niż w przypadku czopów nowych.

356. Zadania na sumowanie elementów nieskończenie małych. Przytoczymy jeszcze kilka zadań, które rozwiązuje się metodą sumowania elementów nieskończenie małych.

1) Znaleźć wzór na moment statyczny M bryły V względem danej płaszczyzny, jeśli znane jest pole przekroju bryły płaszczyzną równoległą do danej jako funkcja odległości x od niej. Zakłada się, że gęstość jest równa 1.

Przy oznaczeniach z ustępu 342 masa (objętość) elementarnej warstwy leżącej w odległości x od danej płaszczyzny jest równa P (jc) dx, a jej moment statyczny dM = x P(x) dx; sumując otrzymujemy więc

b

M = j x P(x) dx .

a

Odległość | środka ciężkości bryły od danej płaszczyzny wyraża się wzorem

\ xP(x)dx

V

W szczególności dla bryły obrotowej

I =

t = M. = _•__

b

/ P(x) dx

/ xy¹ dx

/ y¹ dx

ś

Jeśli zastosować ten wynik (a) do stożka kołowego i (b) do półkuli, to znajdziemy, że odległości środków ciężkości od podstaw są równe odpowiednio: (a) ~ wysokości, (b) y promienia.

2) Znaleźć wzór na moment statyczny M powierzchni obrotowej względem płaszczyzny prostopadłej do osi obrotu. Zakładamy, że „gęstość powierzchniowa” jest równa 1.

Przyjmijmy oś obrotu za oś x; za początek układu przyjmijmy punkt przecięcia osi x z daną płaszczyzną. Przy oznaczeniach z ustępu 344 masa (pole) elementarnej warstwy w odległości y od początku układu wynosi 2ny ds; jej moment statyczny równa się dM — 2n xy ds i ostatecznie

s    s

M = 2n f xy ds = 2tc f & (s)    (r) ds .

o    o