0190

192

X. Zastosowania rachunku całkowego

Z ostatnią całką spotkaliśmy się już w ustąpię 343,12); jest ona równa

(>-£)*<*>+£*<»•

W ten sposób mamy

IPal = 8R² {E(k)-(l-k²)K(k)}

i ostatecznie

|J*I = l^il + |/*al - M(Jt+r){£<*)-(l-*)*(*)}•

W ten sposób wyczerpaliśmy najprostsze zastosowania geometryczne całki oznaczonej. Z obliczaniem wielkości geometrycznych w bardziej złożonych i ogólniejszych przypadkach zapoznamy się w trzecim tomie.

§ 3. Obliczanie wielkości mechanicznych i fizycznych

348. Schemat stosowania całki oznaczonej. Zanim przejdziemy do zastosowań całki oznaczonej w mechanice, fizyce i technice, pożytecznie będzie wyjaśnić najpierw tę drogę, która w zagadnieniach stosowanych prowadzi zazwyczaj do całki oznaczonej. W tym celu omówimy ogólny schemat zastosowania całki, ilustrując go przykładami rozpatrywanych już zadań geometrycznych.

Wyobraźmy sobie, że mamy wyznaczyć pewną stałą wielkość Q (geometryczną lub inną), związaną z przedziałem <a, by Niech przy tym każdemu podprzedziałowi <a, /?> zawartemu w <a, b} odpowiada pewna część wielkości Q tak, że każdemu rozbiciu przedziału (a, b} na podprzedziały odpowiada rozkład wielkości Q na odpowiednie części.

Mówiąc dokładniej, chodzi tu o pewną funkcję przedziału Q «a, /?», która jest addy-tywna, tzn., że jeśli przedział <a, /?> składa się z dwóch podprzedziałów <oc, y> i <y, /?>, to wtedy

Q «<*> P» = Q «<*> ?»+G «y, P» ■

Zadanie polega na tym, żeby obliczyć wartość tej funkcji odpowiadającą całemu przedziałowi <o, by.

Dla przykładu rozpatrzymy na płaszczyźnie krzywą y = f(x) (a < x < b) (rys. 37) (‘). Wtedy 1) długość S krzywej AB, 2) pole JJ*| trapezu krzywoliniowego AA'B'B ograniczonego od góry tą krzywą, 3) objętość I V\ bryły, powstałej przez obrót tego trapezu dokoła osi x — są wielkościami wspomnianego typu. Nietrudno zdać sobie sprawę z tego, jakie funkcje przedziału generują te wielkości.

Rozpatrzmy „element" AQ wielkości Q, odpowiadający „przedziałowi elementarnemu” (x, x+Axy. Wychodząc z warunków zadania postaramy się znaleźć dla AQ wyrażenie przybliżone postaci q (x) Ax, liniowe względem Ax, tak żeby różniło się ono

(’) O funkcji f(x) zakładamy, że jest ciągła i że ma ciągłą pierwszą pochodną. Dla ustalenia uwagi przyjmujemy, że jest ona rosnąca i wypukła w dół (wklęsła).