0162

164

X. Zastosowania rachunku całkowego

wielokątów z jednej strony, a punktami konturu K z drugiej strony (*). Jeśli wziąć teraz d < ó, to każdy prostokąt podziału, mający choćby jeden punkt wspólny z krzywą K. leży na zewnątrz wielokąta A i wewnątrz wielokąta B. Stąd wynika, że

1-41 < W < \P\ < \S\ < \B\ ,

tak więc |P| — \A\ < z i |fi| —|P| < z, co prowadzi już do równości (4).

Jasne jest, że równość (4) można by przyjąć za definicję pojęcia pola, równoważną oczywiście definicji poprzedniej. Taka definicja wydaje się bardzo prosta i naturalna. Wadą jej jednak jest zależność (oczywiście pozorna) od wyboru osi układu współrzędnych.

337. Klasy obszarów mierzalnych. Krzywa K — kontur obszaru P gra ważną rolę w zagadnieniu mierzalności tego obszaru.

Jeśli obszar jest mierzalny, to — jak wiemy z ustępu 335 — do każdego e > 0 można znaleźć obszar wielokątny B—A, zawierający krzywą K, zawarty między konturami obu wielokątów A i B (patrz rys. 14), zatem mający pole \B\-\A\ < z.

Przypuśćmy teraz na odwrót, że kontur K można umieścić w obszarze wielokątnym C o polu |C| < s, gdzie e jest dowolną z góry daną liczbą dodatnią. Bez zmniejszenia ogólności można przy tym założyć, że obszar C nie pokrywa całej figury P. Wtedy punkty obszaru P, nie leżące wewnątrz C, tworzą obszar wielokątny A zawarty w P; jeśli złączymy obszary A i C, to otrzymamy obszar wielokątny B, zawierający już cały obszar P. Różnica \B\-\A\ = |Cj jest mniejsza od z, więc w myśl kryterium z ustępu 335, wynika stąd mie-rzalność obszaru P.

Dla ułatwienia będziemy mówili, że (zamknięta lub nie zamknięta) krzywa R ma pole równe 0, jeśli można ją pokryć obszarem wielokątnym o dowolnie małym polu. Wtedy podane wyżej rozumowanie pozwala wysłowić następujący warunek mierzalności:

Na to, żeby figura P była mierzalna, potrzeba i wystarcza, żeby jej kontur K miał pole równe 0.

W związku z tym duże znaczenie ma wyróżnienie obszernych klas krzywych o polu równym 0.

(’) Niech będą dane na płaszczyźnie dwie krzywe skończone ciągłe. Założymy na przykład, że są one dane za pomocą równań parametrycznych

Ji = <p (O,    y = V (O ;

x = y*(u), y = y*(ii),

gdzie t₀<t<T,u₀<u<U, funkcje <p, y, <p*, y* — są ciągłe odpowiednio względem argumentu t i u. Wtedy odległość między dowolnymi dwoma punktami leżącymi na tych krzywych

V ly (t) - y*(")l^J+lv (O - v*(«)l²

jest funkcją ciągłą względem zmiennych t i u w obszarze domkniętym </₀, T; u₀, U} i wobec tego osiąga w tym obszarze swoją wartość najmniejszą [173]. Jeśli krzywe nie przecinają się, to ta najmniejsza odległość jest różna od zera.