0150

152

X. Zastosowania rachunku całkowego

Za pomocą tego wzoru można już wywnioskować z trójkąta MOT [patrz rys. 10], że luk s jest równy biegunowemu odcinkowi stycznej /,:

_ OM — TM(‘).

Otrzymaliśmy w ten sposób bardzo prostą metodą obliczania długości naszej krzywej.

b) Elipsa:-^- + -~ = 1. a¹ b²

Wygodniej jest zresztą wziąć równanie elipsy w postaci parametrycznej: x « a sin /, y — b cos /. Mamy wtedy

]/x'S+y',¹ = |/a¹ cos²t+b² sin²/ = ^«²—(a²—ó²) sin²/ = a |/l—e² sin²/ ,

gdzie « ₌ J^L±Ł- mimośrodem elipsy. a

Obliczając długość luku elipsy od górnego końca małej osi do dowolnego punktu elipsy w pierwszej

ćwiartce, otrzymujemy

t __

s — oj ^1 — e¹ sin²/ dt = o£ (e, /) . o

W ten sposób długość tuku elipsy wyraża się za pomocą całki eliptycznej drugiego rodząju [293,-patrz także 305]. Od tego właśnie, jak wspominaliśmy, wzięła się nazwa „eliptyczna” dla tej całki.

W szczególności długość ćwiartki obwodu elipsy wyraża się całką eliptyczną zupełną!²)

n/J _

o f ^1—e² sin²/ dt — aE(e). i

Długość całego obwodu elipsy wynosi

S = 4a£(e).

Warto zauważyć, że obliczając długość jednej fali sinusoidy y = c sin -j-, gdzie c “ ^a²—ó², otrzymuje się dokładnie ten sam wynik. Tę zbieżność wyników łatwo jest wyjaśnić geometrycznie. Wyobraźmy sobie walec kołowy prosty; przekrój jego powierzchni płaszczyzną nachyloną do tworzących daje elipsę. Jeśli rozetniemy powierzchnię tego walca wzdłuż tworzącej, przechodzącej przez wierzchołek małej osi elipsy, a następnie rozwiniemy tę powierzchnię, to elipsa przekształci się przy tym w sinusoidę.

Również obliczenie długości łuku hiperboli sprowadza się analogicznie do całek eliptycznych (obu rodzajów).

9) Ślimak: r * a cos 0-M>.

Mamy tu r'_e = —//sin 9 i

/•² + r«² = a^z+2ab cos 0+6² »• (o+ó)² f 1 — —.. sin² —1 .

*    L («+ó)²    2 J

Wobec tego (przy a=£b) długość łuku krzywej od punktu 0 = 0 do punktu określonego przez dowolny kąt 9<n wyraża się za pomocą całki eliptycznej (drugiego rodzaju)

o - e/2    _

* « («+ó) jy!- ^ sin² | « = 2 (e+ó) / j/l -    _si„>, * =

O    o

,_2ia+bn(iM.,Ł).

(’) Ta własność spirali logarytmicznej pozwala łatwo udowodnić następujące twierdzenie; jeśli krzywa ta toczy się bez poślizgu po prostej MT. to biegun O (jeśli przyjąć, że jest on sztywno związany z krzywą) przesuwa się po pewnej prostej. Przeprowadzenie dowodu pozostawiamy czytelnikowi.

(²) Patrz odsyłacz na str. 123.