0510

512

XIII. Criki niewłaściwe

Za pomocą tego kryterium można na przykład łatwo ustalić istnienie wartości głównej w przykładzie 3). Jako drugi przykład może posłużyć definicja bardzo ważnej funkcji nieelementarnej, tak zwanego logarytmu całkowego:

o

Całka ta jest zbieżna tylko dla 0<a<l; jeżeli a>l rozumiemy ją właśnie w sensie wartości głównej.

Pojęcie wartości głównej łatwo daje się uogólnić na przypadek dowolnej skończonej liczby punktów osobliwych wewnątrz rozpatrywanego przedziału.

Dotychczas wyłączaliśmy z rozważań przypadek istnienia osobliwości na końcach przedziału. Można tego nie robić, jeżeli tylko nie będziemy uwzględniali tych osobliwości przy obliczaniu wartości Równych.

4) Niech będzie dana całka (o> 0)

J \—x o

o której z góry wiadomo, że jest rozbieżna. Punktem osobliwym jest tu punkt x = 1 i (gdy a<l) koniec przedziału — punkt x = 0. Łatwo wykazać, że wówczas

2

V.p.

O

+

/>

sprowadza się do całki

ja-ty^-a+ty-¹ _it

o    *

(dla a< 1 — całki niewłaściwej).

Na zakończenie rozpatrzmy jeszcze jeden rodzaj „wartości głównej”, z którego musimy często korzystać. A mianowicie rozpatrzymy całkę w całym przedziale nieskończonym (— oo, + oo). Zakładamy przy tym, że nie ma punktów osobliwych wewnątrz przedziału. Jak wiadomo całkę tę definiujemy za pomocą równości

4-oo    A

f /(*) dx = lim f f(x) dx, -00    V

przy czym zakładamy, że przejścia do granicy względem A i A' odbywają się niezależnie od siebie. Może się przy tym jednak zdarzyć, że granica w tym sensie nie istnieje, natomiast istnieje granica odpowiadająca

4-00

przypadkowi szczególnemu A' - —A. Granicę tę też nazywamy wartoicią główną całki J f(x) dx i ozna-

-00

czarny

4-00    A

V.p. j /(x) dx = lim J /(ot) dx.

-oo    ■*-*+• -A

Na przykład, jeżeli funkcja /(ar) jest nieparzysta, to jej całka w przedziale (—A, A) symetrycznym względem 0 będzie równa 0, a więc

4-00

V.p. / /(ar) dx = 0 ,

4-00

chociaż całka niewłaściwa / /(ar) dx może w ogóle nie istnieje (jak to jest na przykład w przypadku funkcji