0217

219

X. Zastosowania rachunku całkowego

Niech M będzie jakimkolwiek punktem na luku AB i położenie tego punktu niech będzie określone przez kąt 0 = -£ AOM. Zbadamy, jakie siły działają na element w MM' liny, odpowiadający kątowi środkowemu dO. Przede wszystkim w punkcie M działa napięcie S — S (0), a w punkcie AT — napięcie S+dS (rys. 53b). Obie te siły są skierowane wzdłuż stycznych do luku. Aby wyznaczyć siły tarcia na rozpatrywanym elemencie, należy znaleźć siłę normalną dN, przyciskającą ten element do powierzchni bębna. Jest ona sumą składowych normalnych obu podanych napięć, a więc

dN = S sin ^ + (S+dS) sin ^.

Można tu odrzucić iloczyn dS sin ~ dd jako nieskończenie małą rzędu wyższego i zastąpić wielkość sin -i 0 przez równoważną jej nieskończenie małą -j dO (co znów jest równoważne z odrzuceniem małej rzędu wyższego). Ostatecznie

dN= SdO.

Ponieważ siła tarcia jest wprost proporcjonalna do tej siły normalnej, więc oznaczając współczynnik proporcjonalności (współczynnik tarcia) przez /(, otrzymujemy

dR = pdN = ftSdO .

Tarcie przeciwdziała rozpoczynającemu się ruchowi, a więc siła dR łącznie z napięciem S w punkcie M powinny równoważyć napięcie S+dS w punkcie M’, skąd mamy

dS - pSdO.

Znów otrzymaliśmy równanie różniczkowe znanego nam już typu. Można od razu napisać jego rozwiązanie

S = S₀ e"⁶

uwzględniając warunek początkowy 5 = S₀ dla 0 = 0. Podstawiając wreszcie 0 = to, znajdujemy

5, = S₀ e"^m.

Ten ważny wzór odkrył Euler.

3) Wzór Poissona. Znajdziemy zależność między objętością V i ciśnieniem p jednego mola gazu idealnego w procesie adiabatycznym (tzn. w przypadku, kiedy nie ma w ogóle wymiany ciepła między gazem i otaczającym go ośrodkiem).

Stan gazu charakteryzuje — oprócz wielkością i V—jeszcze temperatura absolutna T. Wielkości te nie są jednakże niezależne; są one związane znanym wzorem Clapeyrona

(17)    pV = RT (R — stała gazowa).

Zbadamy, jaka ilość energii dU w jednostkach ciepła jest potrzebna, aby przeprowadzić gaz ze stanu (p, V, T) do nieskończenie bliskiego stanu (p+dp, V+dV, T+dT).

Możemy sobie wyobrazić, że proces przejścia składa się z dwóch stadiów. Po pierwsze — zwiększenie się objętości Vo dV\ po drugie — zmiana temperatury TodTprzy stałej objętości.

Aby wyznaczyć pracę elementarną przy rozszerzaniu gazu, założymy dla uproszczenia, że rozpatrywana ilość gazu znajduje się w cylindrze po jednej stronie tłoka [porównaj 354,2)]. Siła działająca na tłok ze strony gazu wynosi pQ, gdzie Q oznacza pole przekroju tłoka. Jeśli przy rozszerzaniu gazu tłok przesunie się o odległość ds, to praca wykonana przez gaz jest równa pQ ds lub p dV (ponieważ Qds — dV). Jeśli na przykład p dane jest w kg/m³, a V w m³, to praca wyraża się w zwykłych jednostkach — w kgm. Jeśli chcemy znaleźć ilość ciepła zużytego na tę pracę, to otrzymane wyrażenie należy pomnożyć przez tzw. „cieplny równoważnik pracy” A — cal/kgm, co daje Ap dV.

Zmiana temperatury o dT wymaga ilości ciepła równej c»dTcal, gdzie c oznacza pojemność cieplną gazu przy stałej objętości. Dodąjąc, otrzymujemy pracę całkowitą

(18)    dU = c,dT+ApdV.