0172

174

X. Zastosowania rachunku całkowego

Będziemy rozpatrywali wielościany X o objętości | A'!, zawarte całkowicie w naszej bryle oraz wielościany Y o objętości | T| zawierające w sobie ctdą bryłę. Zawsze istnieje kres górny \V*\ liczb \X\ i kres dolny \V*\ liczb |F|, przy czym |F,| < |V*\; można by nazywać te kresy odpowiednio wewnętrzną i zewnętrzną objętością bryły. Jeśli oba kresy

W,\ « sup {|Aj} i \V*\ = inf {|Y|}

są równe, to wtedy ich wspólną wartość | V\ nazywamy objętością (^ł) bryły V.

W tym przypadku — podobnie jak dla figur płaskich — bryła ta nazywa się mierzalna. Tutaj także widać, że dla istnienia objętości potrzeba i wystarcza, żeby dla każdego e > 0 można było znaleźć takie dwa wielościany X i Y, dla których | T| — | X\ < e.

Podobnie mamy dalej:

Jeśli bryła V jest rozbita na dwie bryły V_y i V₂ i jeśli istnieją objętości dwóch spośród tych trzech brył, to wynika stąd istnienie objętości trzeciej bryły, przy czym jest

\y\’=\v₁\+\v_i\,

tzn., że objętość ma też własność addytywności.

Łatwo można również sformułować dla objętości twierdzenia analogiczne do twierdzeń 1), 2) i 3), które dla pól udowodniliśmy w ustępie 336.

1) Na to, żeby bryła V miała objętość, potrzeba i wystarcza, aby istniały dwa ciągi wie-lościanów {AT,} i {T„), odpowiednio zawartych w tej bryle i zawierających ją, których objętości mają wspólną granicę

lim\X_K\=lm\Y_m\ = \V\.

Ta granica będzie właśnie objętością bryły V.

Warto zauważyć, że twierdzenie to jest również prawdziwe, jeśli zamiast wielościanów bierzemy dowolne bryły, które mają objętości.

2) Jeśli dla bryły V można podać taki ciąg {T_n} brył zawartych w bryłę V i ciąg {U_R} brył zawierających ją, które mają objętości i przy tym objętości te mają wspólną granicę

lim |r„| - lim117,1 = \V\,

to bryła V ma objętość równą tej wspólnej granicy.

Zwracamy wreszcie uwagę na możliwość wybierania w sposób „standardowy” rozpatrywanych wielościanów aproksymujących objętość bryły. Najpierw znajdujemy taki prostopadłościan W o ścianach równoległych do płaszczyzn współrzędnych, że bryła leży całkowicie wewnątrz niego. Następnie rozcinamy go na części płaszczyznami równoległymi do płaszczyzn współrzędnych. Te z otrzymanych w ten sposób małych prostopadłościanów, które leżą całkowicie, wewnątrz bryły V, tworzą bryłę X*, dodając zaś do niej jeszcze te prostopadłościany, które częściowo wychodzą poza V, otrzymamy bryłę Y*. Bryły te są szczególnym przypadkiem wielościanów X i Y, o których mówiliśmy

(») Przyjęta jest także nazwa miara Jordana (przypis redakcji wydania polskiego).